2 replies to this topic

[dreamcatcher170201]

Cho $a;b;c$ dương thỏa mãn $a+b+c=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.CMR $\frac{1}{a^2+b^2+3}+\frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{c^2+a^2+3}\leq \frac{1}{2}$

[hthang0030]

Ta có:$\sum \frac{1}{a^2+b^2+3}\leq \frac{1}{2}<=>1-\sum \frac{a^2+b^2}{3a^2+3b^2+9}\leq \frac{1}{2}<=>\frac{1}{2}\leq \sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{6a^2+6b^2+18}$

Không mất tính tổng quát giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$

Áp dụng BĐT C-S dạng engel $=>\sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{6a^2+6b^2+18}\geq \frac{4(a+b+c)^2+4(a-c)^2}{12(a^2+b^2+c^2)+54}$

Ta cần chứng minh: $\frac{4(a+b+c)^2+4(a-c)^2}{12(a^2+b^2+c^2)+54}\geq \frac{1}{2}<=>\frac{27+2(a+b+c)^2+4(a-c)^2}{12(a^2+b^2+c^2)+54}\geq \frac{1}{2}<=>8ab+8bc\geq 8ac+8b^2<=>8(a-b)(b-c)\geq 0$ (Đúng)

=>Q.E.D

Edited by hthang0030, 24-03-2017 - 00:26.

[hthang0030]

Cho $a;b;c$ dương thỏa mãn $a+b+c=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.CMR $\frac{1}{a^2+b^2+3}+\frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{c^2+a^2+3}\leq \frac{1}{2}$

Ta có:$\sum \frac{1}{a^2+b^2+3}\leq \frac{1}{2}<=>1-\sum \frac{a^2+b^2}{3a^2+3b^2+9}\leq \frac{1}{2}<=>\frac{1}{2}\leq \sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{6a^2+6b^2+18}$

Không mất tính tổng quát giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$

Áp dụng BĐT C-S dạng engel $=>\sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{6a^2+6b^2+18}\geq \frac{4(a+b+c)^2+4(a-c)^2}{12(a^2+b^2+c^2)+54}$

Ta cần chứng minh: $\frac{4(a+b+c)^2+4(a-c)^2}{12(a^2+b^2+c^2)+54}\geq \frac{1}{2}<=>\frac{27+2(a+b+c)^2+4(a-c)^2}{12(a^2+b^2+c^2)+54}\geq \frac{1}{2}<=>8ab+8bc\geq 8ac+8b^2<=>8(a-b)(b-c)\geq 0$ (Đúng)

=>Q.E.D