Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Một bài tập độ đo


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 thuylinh_909

thuylinh_909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:HN

Đã gửi 23-03-2017 - 07:11

Mọi người giúp mình (em) bài này với ạ.

 

Hình gửi kèm

  • kkkk.png


#2 Heuristic

Heuristic

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

Đã gửi 15-04-2020 - 13:52

Mọi người giúp mình (em) bài này với ạ.

 

Mấu chốt của bài toán này là tập hợp Vitali. 

 

Xét $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$. Đây là một nhóm thương. Với mọi $a\in\mathbb{R}/\mathbb{Q}$, ta có một phần tử $x\in[0,1)$ sao cho lớp tương đương của $x$ là $a$ (phần tử này không phải là duy nhất). Do đó, ta có thể xây dựng một hàm $f:\mathbb{R}/\mathbb{Q}\rightarrow[0,1)$ sao cho $f(a)\in a$. Đặt $V=f(\mathbb{R}/\mathbb{Q})$.

 

$V$ thỏa mãn tính chất sau: $\forall x\in\mathbb{R}:\exists! a\in V: x\in a+\mathbb{Q}$.

 

Vậy nếu ta lấy $x\in[0,1)$ chẳng hạn, thì $x-f(\overline{x})\in\mathbb{Q}$, hơn nữa $x-f(\overline{x})\in(-1,1)$. Do đó 

 

$$[0,1)\subset\cup_{a\in\mathbb{Q}\cap(-1,1)}a+V$$

 

Ngoài ra, $\mathbb{Q}\cap(-1,1)+V\subset(-1,1)+[0,1)\subset(-1,2)$.

 

Bây giờ giả sử tồn tại một độ đo $\mu$ thỏa mãn tính chất (i) và (iii). Vậy thì:

 

$\mu([0,1))\leq\sum_{a\in\mathbb{Q}\cap(-1,1)}\mu(V)\leq\mu((-1,2))$

 

Từ bất đẳng thức bên phải suy ra $\mu(V)=0$. Từ bất đẳng thức bên trái suy ra $\mu([0,1))=0$. Suy ra $\mu([1/2,3/2))=0$. Suy ra $\mu([0,3/2))=0$. Suy ra $\mu([0,1])=0$.

 

Vậy (i) và (iii) $\implies\mu([0,1])=0$. Vậy không thể có độ đo nào thỏa mãn cả ba tính chất (i), (ii) và (iii). 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Heuristic: 15-04-2020 - 13:53





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh