Chủ đề này có 3 trả lời

[yugj]

Cho 0 < a ≤ b ≤ c. Chứng minh:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\geq \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$

[013]

Cho 0 < a ≤ b ≤ c. Chứng minh:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\geq \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$

Mình nghĩ như thế này, liệu có ổn không?

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a};  \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$

Vì c>b>a>0 qui đồng mỗi vế ta được

$\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}=\frac{b^{2}c+ac^{2}+a^{2}b}{abc}$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}= \frac{a^{2}c+ab^{2}+bc^{2}}{abc}$

Vì c>b>a>0 nên ta cũng suy ra $a^{2}c\leq ac^{2};a^{2}b\leq ab^{2};b^{2}c\leq bc^{2}$

=> đccm

[cyndaquil]

Mình nghĩ như thế này, liệu có ổn không?

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a};  \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$

Vì c>b>a>0 qui đồng mỗi vế ta được

$\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}=\frac{b^{2}c+ac^{2}+a^{2}b}{abc}$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}= \frac{a^{2}c+ab^{2}+bc^{2}}{abc}$

Vì c>b>a>0 nên ta cũng suy ra $a^{2}c\leq ac^{2};a^{2}b\leq ab^{2};b^{2}c\leq bc^{2}$

=> đccm

Cách của bạn ko đúng vì cộng cả 3 vế theo vế ko suy ra được dpcm 

 

Nhân 2 vế cho $abc$, bdt đã cho tương đương

$a^2c+b^2a+c^2b \ge b^2c+c^2a+a^2b$

$\Leftrightarrow (c-b)(b-a)(c-a) \ge 0$ (luôn đúng),suy ra dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cyndaquil: 24-03-2017 - 21:38

[kienvuhoang]

Dấu bằng xảy ra$a=b hoặc b=c$