Đến nội dung

Hình ảnh

Cho đa thức $f(x)=9x^{3}-12x^{2}+2x+3.$ Chứng minh rằng $f(x)\geq 0$ nếu $x> 0.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

Cho đa thức $f(x)=9x^{3}-12x^{2}+2x+3.$ Chứng minh rằng $f(x)\geq 0$ nếu $x> 0.$



#2
huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 336 Bài viết

Ta có

\begin{align*} f(x)&=9x^3-12x^2+2x+3 \\ &=\left(9x^3-16x^2+\dfrac{64x}{9}\right)+\left(4x^2-\dfrac{46x}{9}+\dfrac{529}{324}\right)+\dfrac{443}{324} \\ &=x\left(3x-\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(2x-\dfrac{23}{18}\right)^2+\dfrac{443}{324} \end{align*}

 

Khi $x>0$, dễ thấy rằng $f(x)\geqslant 0$.


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#3
huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 336 Bài viết

Cách khác:
Ta có: $f'(x)=27x^2-24x+2=0 \iff x=\dfrac{4\pm\sqrt{10}}{9}$.

 

Bảng biến thiên

*** Cannot compile formula:


\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit%
{$x$/1,%
$f'(x)$ /1,%
 $f(x)$ /2}%
{$0$ , $\frac{4-\sqrt{10}}{9}$ , $\frac{4+\sqrt{10}}{9}$ , $+\infty$}
\tkzTabLine{ ,+, 0 ,-, 0 ,+, }
\tkzTabVar %
{
-/ $3$,+/$\frac{187+20\sqrt{10}}{81}$ ,-/$\frac{187-20\sqrt{10}}{81}$,+/$+\infty$
}
\end{tikzpicture}


*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty
 
Dễ thấy rằng $\dfrac{187-20\sqrt{10}}{81}> 0$, do đó ta thấy $f(x)\geqslant 0 \forall x>0$.

$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#4
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho đa thức $f(x)=9x^{3}-12x^{2}+2x+3.$ Chứng minh rằng $f(x)\geq 0$ nếu $x> 0.$

 

Ta có

\[9x^{3}-12x^{2}+2x+3 = (8x+3)(x-1)^2+x^2(x+1) \geqslant 0.\]

 


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh