Cho đa thức $f(x)=9x^{3}-12x^{2}+2x+3.$ Chứng minh rằng $f(x)\geq 0$ nếu $x> 0.$
Cho đa thức $f(x)=9x^{3}-12x^{2}+2x+3.$ Chứng minh rằng $f(x)\geq 0$ nếu $x> 0.$
Bắt đầu bởi Zz Isaac Newton Zz, 24-03-2017 - 17:13
#2
Đã gửi 24-03-2017 - 18:45
huykinhcan99
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 336 Bài viết
Sĩ quan
Ta có
\begin{align*} f(x)&=9x^3-12x^2+2x+3 \\ &=\left(9x^3-16x^2+\dfrac{64x}{9}\right)+\left(4x^2-\dfrac{46x}{9}+\dfrac{529}{324}\right)+\dfrac{443}{324} \\ &=x\left(3x-\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(2x-\dfrac{23}{18}\right)^2+\dfrac{443}{324} \end{align*}
Khi $x>0$, dễ thấy rằng $f(x)\geqslant 0$.
- Zz Isaac Newton Zz và Thuat ngu thích
$$\text{Vuong Lam Huy}$$
#3
Đã gửi 24-03-2017 - 19:29
huykinhcan99
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 336 Bài viết
Sĩ quan
Cách khác:
Ta có: $f'(x)=27x^2-24x+2=0 \iff x=\dfrac{4\pm\sqrt{10}}{9}$.
Bảng biến thiên
*** Cannot compile formula:
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit%
{$x$/1,%
$f'(x)$ /1,%
$f(x)$ /2}%
{$0$ , $\frac{4-\sqrt{10}}{9}$ , $\frac{4+\sqrt{10}}{9}$ , $+\infty$}
\tkzTabLine{ ,+, 0 ,-, 0 ,+, }
\tkzTabVar %
{
-/ $3$,+/$\frac{187+20\sqrt{10}}{81}$ ,-/$\frac{187-20\sqrt{10}}{81}$,+/$+\infty$
}
\end{tikzpicture}
*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty
Dễ thấy rằng $\dfrac{187-20\sqrt{10}}{81}> 0$, do đó ta thấy $f(x)\geqslant 0 \forall x>0$.
- Zz Isaac Newton Zz và Nghiapnh1002 thích
$$\text{Vuong Lam Huy}$$
#4
Đã gửi 24-03-2017 - 20:42
Nguyenhuyen_AG
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 945 Bài viết
Trung úy
Cho đa thức $f(x)=9x^{3}-12x^{2}+2x+3.$ Chứng minh rằng $f(x)\geq 0$ nếu $x> 0.$
Ta có
\[9x^{3}-12x^{2}+2x+3 = (8x+3)(x-1)^2+x^2(x+1) \geqslant 0.\]
- huykinhcan99, Baoriven, Zz Isaac Newton Zz và 3 người khác yêu thích
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport
Ho Chi Minh City University Of Transport
