Chủ đề này có 1 trả lời

[chunglop0987]

Cho a,b là các số dương.Chứng minh rằng:

$\frac{2a^{2}+3b^{2}}{2a^{3}+3b^{3}}+\frac{2b^{2}+2a^{2}}{2b^{3}+3a^{3}}\leq \frac{4}{a+b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chunglop0987: 24-03-2017 - 20:47

[NHoang1608]

Đặt $\frac{a}{b}=t (t>0)$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

  $\frac{2t^{2}+3}{2t^{3}+3}+\frac{2+3t^{2}}{2+3t^{3}}\leq \frac{4}{t+1}$

  $\Leftrightarrow (t+1)(12t^{5}+13t^{3}+13t^{2}+12)\leq 4(6t^{6}+13t^{3}+6)$

  $\Leftrightarrow 12(t^{6}-t^{5}-t+1)-13t^{2}(t^{2}-2t+1)\geq 0$

  $\Leftrightarrow 12(t-1)^{2}(t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1)-13t^{2}(t-1)^{2}\geq 0$

  $\Leftrightarrow (t-1)^{2}(12(t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1)-13t^{2})\geq 0$

Mặt khác lại có $12(t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1)-13t^{2}=12t^{4}+12t(t-1)^{2}+11t^{2}+12>0$

Suy ra ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi $t=1\Leftrightarrow x=y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 24-03-2017 - 21:02