Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\prod (a^{2}+b^{2})\leq \frac{1}{32}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 24-03-2017 - 21:35

Bài toán: Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

 

Chứng minh rằng:  $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$


:huh:

#2 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 24-03-2017 - 22:12

Bài toán: Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

 

Chứng minh rằng:  $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$

Bác cần ko em up luôn bản pdf 

17499866_428750700806574_1202535269_o.pn17500351_428750907473220_237139321_o.png

17500434_428750960806548_563938874_o.png

17475325_428751024139875_1075875652_o.pn

17453287_428751210806523_1726598815_o.pn



#3 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-03-2017 - 22:27

Bài toán: Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

 

Chứng minh rằng:  $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$

 

Đơn giản nhất chắc là dồn biến. Viết bất đẳng thức trên lại như sau

\[(a+b+c)^6 \geqslant 32(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2),\]

hay là

\[\begin{aligned}\sum c^4(a+b-c)^2&+2abc\left[(42(ab^2+bc^2+ca^2)+109abc\right] \\&+2\sum ab(4a^2-ab+4b^2+14bc+16c^2)(a-b)^2\geqslant 0.\end{aligned}\]

Hiển nhiên đúng.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#4 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 25-03-2017 - 19:47

Đơn giản nhất chắc là dồn biến. Viết bất đẳng thức trên lại như sau

\[(a+b+c)^6 \geqslant 32(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2),\]

hay là

\[\begin{aligned}\sum c^4(a+b-c)^2&+2abc\left[(42(ab^2+bc^2+ca^2)+109abc\right] \\&+2\sum ab(4a^2-ab+4b^2+14bc+16c^2)(a-b)^2\geqslant 0.\end{aligned}\]

Hiển nhiên đúng.

Bác chỉ rõ cho em dấu bằng của bài toán được không ạ ,,, @@ !


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#5 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-03-2017 - 19:48

Bác chỉ rõ cho em dấu bằng của bài toán được không ạ ,,, @@ !

 

Đẳng thức xảy ra khi có hai số bằng nhau một số bằng $0.$


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#6 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 28-03-2017 - 22:46

Cmr $$f(a,b,c) \leq f(a+b,c,0)$$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 28-03-2017 - 22:46


#7 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-04-2017 - 19:33

Cmr $$f(a,b,c) \leq f(a+b,c,0)$$.

 

Biểu thức $f(a,b,c)$ của em là gì ? Nếu dồn biến theo kiểu này thì sẽ chọn $c$ là số nhỏ nhất, anh thử nhẩm với $f(a,b,c) = (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$ khi xét $f(a,b,c) \leqslant f(a+b,c,0)$ thì hai đại lượng trội nhất là $a^3b,ab^3$ nằm bên trái dấu $\leqslant $ nên có thể bất đẳng thức này sai.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#8 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 08-04-2017 - 00:01

Biểu thức $f(a,b,c)$ của em là gì ? Nếu dồn biến theo kiểu này thì sẽ chọn $c$ là số nhỏ nhất, anh thử nhẩm với $f(a,b,c) = (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$ khi xét $f(a,b,c) \leqslant f(a+b,c,0)$ thì hai đại lượng trội nhất là $a^3b,ab^3$ nằm bên trái dấu $\leqslant $ nên có thể bất đẳng thức này sai.

Em chọn $c$ là số lớn nhất.
Ta nhân 2 đánh giá sau
$c^2[(a+b)^2+c^2]=c^4+c^2a^2+c^2b^2+2c^2ab \geq (c^2+a^2)(c^2+b^2)$
Và $(a+b)^2 \geq (a^2+b^2)$

#9 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-04-2017 - 13:00

Cmr $$f(a,b,c) \leq f(a+b,c,0)$$.

Em chọn $c$ là số lớn nhất.

 

Nhưng như vầy thì em dồn $c$ về $0$ !


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#10 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 08-04-2017 - 18:51

Nhưng như vầy thì em dồn $c$ về $0$ !

Em chưa hiểu ý anh lắm. Em đang dồn $b \rightarrow 0$. Nếu dồn $c \rightarrow 0$ thì có lẽ là $f(a+c,b,0)$ chính xác hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 08-04-2017 - 18:52


#11 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-04-2017 - 19:05

Em định nghĩa $f(a,b,c) = (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$ thì $f(a+b,c,0)$ tức là thay $a = a + b,\, b = c$ và $c = 0.$ Tức $c$ là nhỏ nhất.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#12 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 09-04-2017 - 13:15

Em định nghĩa $f(a,b,c) = (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$ thì $f(a+b,c,0)$ tức là thay $a = a + b,\, b = c$ và $c = 0.$ Tức $c$ là nhỏ nhất.

Thực ra nó chỉ là mặt quy ước, ta có thể thấy $f(a+c,b,0)$ và $f(a+b,c,0)$ hay $f(0,b,a+c)$ là tương đương hết sau phép đặt ẩn $(a+c,b) \rightarrow (x,y)$ hay $(a+b,c) \rightarrow (x,y)$
Ta chọn vị trí các số sao cho chứng minh dễ nhất có thể mà thôi. Nó không ảnh hưởng dù $c$ max hay min. Bài toán này có thể chọn thứ tự thoải mái do tính đối xứng.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh