tìm x,y là các số hữu tỉ sao cho $x+y$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là các số nguyên
tìm x,y là các số hữu tỉ sao cho $x+y$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là các số nguyên
#1
Đã gửi 26-03-2017 - 10:58
#2
Đã gửi 26-03-2017 - 11:31
tìm x,y là các số hữu tỉ sao cho $x+y$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là các số nguyên
Solution
Vì $x,y$ hữu tỉ nên có thể đặt $x=\frac{a}{b}$ và $y=\frac{c}{d}$ với $(a;b)=(c;d)=1$ , $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$.
Khi đó ta có $\frac{ad+bc}{bd}\in \mathbb{Z}$ $(1)$ và $\frac{bc+ad}{ac} \in \mathbb{Z}$ $(2)$.
Từ $(1)$ ta có $ad+bc \vdots b \Rightarrow ad \vdots b \Rightarrow d\vdots b$ (Vì $(a;b)=1$).
Tương tự ta cũng có $ad+bc \vdots d \Rightarrow bc\vdots d \Rightarrow b\vdots d$ (Vì $(c;d)=1$).
Suy ra $b \vdots d$ và $d\vdots b$ $\Rightarrow b=d$.
Hoàn tương tự với $(2)$ suy ra $a=c$
$\Rightarrow x=y=\frac{a}{b}$ suy ra $\frac{2a}{b} \in \mathbb{Z}$ và $\frac{2b}{a} \in \mathbb{Z}$
Suy ra $2\vdots b$ vì $(a;b)=1$ suy ra $b \in \left \{2;-2;1;-1 \right \}$.
Nếu $b=2$ hoặc $b=-2$ suy ra $4 \vdots a \Rightarrow a \in\left \{1;-1 \right \}$ vì $(a;b)=1$
Nếu $b=1$ hoặc $b=-1$ suy ra $2 \vdots a \Rightarrow a \in\left \{1;-1;2;-2 \right \}$
Tóm lại $x=y \in\left \{\frac{1}{2};\frac{-1}{2};1;-2;-1;2 \right \}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 26-03-2017 - 11:45
- huyqhx9 và Nghiapnh1002 thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh