Chủ đề này có 1 trả lời

[huyqhx9]

tìm x,y là các số hữu tỉ sao cho $x+y$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là các số nguyên

[NHoang1608]

 

tìm x,y là các số hữu tỉ sao cho $x+y$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là các số nguyên

Solution

Vì $x,y$ hữu tỉ nên có thể đặt $x=\frac{a}{b}$ và $y=\frac{c}{d}$ với $(a;b)=(c;d)=1$ , $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$.

Khi đó ta có $\frac{ad+bc}{bd}\in \mathbb{Z}$ $(1)$ và $\frac{bc+ad}{ac} \in \mathbb{Z}$ $(2)$.

Từ $(1)$ ta có $ad+bc \vdots b \Rightarrow ad \vdots b \Rightarrow d\vdots b$  (Vì $(a;b)=1$).

   Tương tự ta cũng có $ad+bc \vdots d \Rightarrow bc\vdots d \Rightarrow b\vdots d$  (Vì $(c;d)=1$).

Suy ra $b \vdots d$ và $d\vdots b$ $\Rightarrow b=d$.

Hoàn tương tự với $(2)$ suy ra $a=c$

$\Rightarrow x=y=\frac{a}{b}$ suy ra $\frac{2a}{b} \in \mathbb{Z}$ và $\frac{2b}{a} \in \mathbb{Z}$

Suy ra $2\vdots b$ vì $(a;b)=1$ suy ra $b \in \left \{2;-2;1;-1 \right \}$.

Nếu $b=2$ hoặc $b=-2$ suy ra $4 \vdots a \Rightarrow a \in\left \{1;-1 \right \}$ vì $(a;b)=1$

Nếu $b=1$ hoặc $b=-1$ suy ra $2 \vdots a \Rightarrow a \in\left \{1;-1;2;-2 \right \}$ 

Tóm lại $x=y \in\left \{\frac{1}{2};\frac{-1}{2};1;-2;-1;2 \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 26-03-2017 - 11:45