Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

tìm x,y là các số hữu tỉ sao cho $x+y$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là các số nguyên


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 huyqhx9

huyqhx9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 26-03-2017 - 10:58

tìm x,y là các số hữu tỉ sao cho $x+y$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là các số nguyên



#2 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 26-03-2017 - 11:31

 

tìm x,y là các số hữu tỉ sao cho $x+y$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là các số nguyên

Solution

Vì $x,y$ hữu tỉ nên có thể đặt $x=\frac{a}{b}$ và $y=\frac{c}{d}$ với $(a;b)=(c;d)=1$ , $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$.

Khi đó ta có $\frac{ad+bc}{bd}\in \mathbb{Z}$ $(1)$ và $\frac{bc+ad}{ac} \in \mathbb{Z}$ $(2)$.

Từ $(1)$ ta có $ad+bc \vdots b \Rightarrow ad \vdots b \Rightarrow d\vdots b$  (Vì $(a;b)=1$).

   Tương tự ta cũng có $ad+bc \vdots d \Rightarrow bc\vdots d \Rightarrow b\vdots d$  (Vì $(c;d)=1$).

Suy ra $b \vdots d$ và $d\vdots b$ $\Rightarrow b=d$.

Hoàn tương tự với $(2)$ suy ra $a=c$

$\Rightarrow x=y=\frac{a}{b}$ suy ra $\frac{2a}{b} \in \mathbb{Z}$ và $\frac{2b}{a} \in \mathbb{Z}$

Suy ra $2\vdots b$ vì $(a;b)=1$ suy ra $b \in \left \{2;-2;1;-1 \right \}$.

Nếu $b=2$ hoặc $b=-2$ suy ra $4 \vdots a \Rightarrow a \in\left \{1;-1 \right \}$ vì $(a;b)=1$

Nếu $b=1$ hoặc $b=-1$ suy ra $2 \vdots a \Rightarrow a \in\left \{1;-1;2;-2 \right \}$ 

Tóm lại $x=y \in\left \{\frac{1}{2};\frac{-1}{2};1;-2;-1;2 \right \}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 26-03-2017 - 11:45

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh