Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{3}{4}(a+b+c)^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 kienvuhoang

kienvuhoang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bên kia Ngân Hà
  • Sở thích:play soccer,inequality

Đã gửi 26-03-2017 - 21:01

Cho các số thực a;b;c.CMR:  $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{3}{4}(a+b+c)^2$



#2 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 26-03-2017 - 22:02

Thật nhẹ nhàng. Và từ bài toán này làm chặt bài bất APMO 2004.

bat.png



#3 kienvuhoang

kienvuhoang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bên kia Ngân Hà
  • Sở thích:play soccer,inequality

Đã gửi 26-03-2017 - 22:36

Thật nhẹ nhàng. Và từ bài toán này làm chặt bài bất APMO 2004.

attachicon.gifbat.png

Đề khác bạn ơi=)))

P/s:vẫn làm như thế thôi



#4 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-03-2017 - 15:52

Cho các số thực a;b;c.CMR:  $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{3}{4}(a+b+c)^2$

 

Đặt

\[P = 4(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) - 3(a+b+c)^2.\]

Ta có

\[P = \frac{\left[(4b^2c^2+4b^2+4c^2+1)a-3b-3c\right]^2 + 4(c^2+1)(b^2+1)\left[(b-c)^2 + (2bc-1)^2\right]}{4b^2c^2+4b^2+4c^2+1} \geqslant 0.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#5 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 27-03-2017 - 16:13

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có: $(a.1+(b+c).1)^{2}\leq (a^{2}+1)(1+(b+c)^{2})=(a^{2}+1)(b^{2}+c^{2}+2bc+1)$

                                                                            $\Rightarrow \frac{3}{4}(a+b+c)^{2}\leq \frac{3}{4}(a^{2}+1)(b^{2}+c^{2}+2bc+1)$

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq \frac{3}{4}(b^{2}+c^{2}+2bc+1)$ là xong.

                                                 $\Leftrightarrow (2bc-1)^{2}+(b-c)^{2}\geq 0$ (Luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 27-03-2017 - 16:14

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#6 kienvuhoang

kienvuhoang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bên kia Ngân Hà
  • Sở thích:play soccer,inequality

Đã gửi 27-03-2017 - 22:34

Bài toán tổng quát:$(a^2+2k)(b^2+2k)(c^2+2k)\geq 3k^2(a+b+c)^2$



#7 DNThi

DNThi

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Đã gửi 27-03-2017 - 23:20

Bài toán tổng quát:$(a^2+2k)(b^2+2k)(c^2+2k)\geq 3k^2(a+b+c)^2$

 

Một cách cổ điển là dùng nguyên lý Dirichlet để có $(a^2-k)(b^2-k)\geq0$


Hướng dẫn soạn thảo văn bản Toán học chuẩn $\LaTeX$ dễ dàng với LyX

http://toantinhoc.ga...c-toan-voi-lyx/


#8 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-03-2017 - 14:06

Bài toán tổng quát:$(a^2+2k)(b^2+2k)(c^2+2k)\geq 3k^2(a+b+c)^2$

 

Điều kiện của $k$ chắc là $k \geqslant 0$? Bài này không thể xem là bài tổng quát được vì nếu đổi biến $(a,b,c)=(a\sqrt{k},b\sqrt{k},c\sqrt{k})$ thì bài toán trở thành

\[(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geqslant 3(a+b+c)^2. \quad (1)\]

Còn bài toán của bạn kienvuhoang nếu đặt đặt $(a,b,c) = \left(\frac{a}{\sqrt2},\frac{b}{\sqrt2},\frac{c}{\sqrt2},\right)$ thì cũng quy về $(1).$ Nên hai bài toán tương đương nhau.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#9 TruongQuangTan

TruongQuangTan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Gio Mai - Gio Linh - Quảng Trị
  • Sở thích:Chơi-Học TOÁN

Đã gửi 29-03-2017 - 00:54

Thật nhẹ nhàng. Và từ bài toán này làm chặt bài bất APMO 2004.

attachicon.gifbat.png

Cho mình hỏi bài này bạn lấy trong tài liệu nào vậy ạ :-D






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh