Chủ đề này có 8 trả lời

[kienvuhoang]

Cho các số thực a;b;c.CMR:  $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{3}{4}(a+b+c)^2$

[Nguyenphuctang]

Thật nhẹ nhàng. Và từ bài toán này làm chặt bài bất APMO 2004.

[kienvuhoang]

Thật nhẹ nhàng. Và từ bài toán này làm chặt bài bất APMO 2004.

bat.png

Đề khác bạn ơi=)))

P/s:vẫn làm như thế thôi

[Nguyenhuyen_AG]

Cho các số thực a;b;c.CMR:  $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{3}{4}(a+b+c)^2$

 

Đặt

\[P = 4(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) - 3(a+b+c)^2.\]

Ta có

\[P = \frac{\left[(4b^2c^2+4b^2+4c^2+1)a-3b-3c\right]^2 + 4(c^2+1)(b^2+1)\left[(b-c)^2 + (2bc-1)^2\right]}{4b^2c^2+4b^2+4c^2+1} \geqslant 0.\]

[NHoang1608]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có: $(a.1+(b+c).1)^{2}\leq (a^{2}+1)(1+(b+c)^{2})=(a^{2}+1)(b^{2}+c^{2}+2bc+1)$

                                                                            $\Rightarrow \frac{3}{4}(a+b+c)^{2}\leq \frac{3}{4}(a^{2}+1)(b^{2}+c^{2}+2bc+1)$

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq \frac{3}{4}(b^{2}+c^{2}+2bc+1)$ là xong.

                                                 $\Leftrightarrow (2bc-1)^{2}+(b-c)^{2}\geq 0$ (Luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 27-03-2017 - 16:14

[kienvuhoang]

Bài toán tổng quát:$(a^2+2k)(b^2+2k)(c^2+2k)\geq 3k^2(a+b+c)^2$

[DNThi]

Bài toán tổng quát:$(a^2+2k)(b^2+2k)(c^2+2k)\geq 3k^2(a+b+c)^2$

 

Một cách cổ điển là dùng nguyên lý Dirichlet để có $(a^2-k)(b^2-k)\geq0$

[Nguyenhuyen_AG]

Bài toán tổng quát:$(a^2+2k)(b^2+2k)(c^2+2k)\geq 3k^2(a+b+c)^2$

 

Điều kiện của $k$ chắc là $k \geqslant 0$? Bài này không thể xem là bài tổng quát được vì nếu đổi biến $(a,b,c)=(a\sqrt{k},b\sqrt{k},c\sqrt{k})$ thì bài toán trở thành

\[(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geqslant 3(a+b+c)^2. \quad (1)\]

Còn bài toán của bạn kienvuhoang nếu đặt đặt $(a,b,c) = \left(\frac{a}{\sqrt2},\frac{b}{\sqrt2},\frac{c}{\sqrt2},\right)$ thì cũng quy về $(1).$ Nên hai bài toán tương đương nhau.

[TruongQuangTan]

Thật nhẹ nhàng. Và từ bài toán này làm chặt bài bất APMO 2004.

bat.png

Cho mình hỏi bài này bạn lấy trong tài liệu nào vậy ạ :-D