Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=4.$
Chứng minh rằng : $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc \geq 10$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 28-03-2017 - 11:47
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=4.$
Chứng minh rằng : $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc \geq 10$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 28-03-2017 - 11:47
It's not being Slytherins that makes us proud. It's being proud that makes us Slytherin.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=4.
Chứng minh rằng : 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc=10
Hình như đề sai rồi.
Ta có : $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(ab+bc+ca)=12 \Rightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc > 12 > 10$
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
Hình như đề sai rồi.
Ta có : $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(ab+bc+ca)=12 \Rightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc > 12 > 10$
mình viết sót, là lớn hơn hoặc bằng 10 cậu ạ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi murasaki: 27-03-2017 - 21:51
It's not being Slytherins that makes us proud. It's being proud that makes us Slytherin.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3.$
Chứng minh rằng : $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc \geq 10$
Ta có bđt phụ : $\sum a^{2}+2abc+1\geq 2(\sum ab)$ (*)
Chứng minh (*): https://diendantoanh...bc1geq-2abbcca/
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : $3(\sum a^{2})+abc=\frac{1}{2}\left [ 6(\sum a^{2})+2abc \right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 5(\sum a^{2})+2(\sum ab) -1\right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 7(\sum ab) -1\right ]=10$
-
Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…
________________________________________________
Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...
Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...
-----------------------
My facebook : https://www.facebook...100021740291096
Ta có bđt phụ : $\sum a^{2}+2abc+1\geq 2(\sum ab)$ (*)
Chứng minh (*): https://diendantoanh...bc1geq-2abbcca/
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : $3(\sum a^{2})+abc=\frac{1}{2}\left [ 6(\sum a^{2})+2abc \right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 5(\sum a^{2})+2(\sum ab) -1\right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 7(\sum ab) -1\right ]=10$
-
đề là ab+bc+ca+abc=4 ạ, mình viết nhầm nữa ._.
It's not being Slytherins that makes us proud. It's being proud that makes us Slytherin.
đề là ab+bc+ca+abc=4 ạ, mình viết nhầm nữa ._.
Tóm lại cái đề nó là như này đúng không bạn? =_=
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ac+abc=4$
Chứng minh rằng:$3(a^2+b^2+c^2)+abc\geq10$
*Giải:BĐT cần chứng minh $<=>3p^2-6q+r\geq 10<=>3p^2-7q-6\geq 0$ (*)
Theo BĐT Schur ta có $p^3+9r\geq 4pq<=>p^3+9(4-q)\geq 4pq<=>q\leq \frac{36+p^3}{4p+9}$
Thay vào (*) =>$3p^2-7\frac{36+p^3}{4p+9}-6\geq 0<=>5p^3+27p^2-24p-306\geq 0<=>(p-3)(5p^2+42p+102)\geq 0<=>p\geq 3$
Ta có:$q^3=(ab+bc+ac)^3\geq 27(abc)^2=27r^2=27(4-q)^2$
=>$q\geq 3$
=>$p^2\geq 3q\geq 9=>p\geq 3$
=>Q.E.D
Dấu $"="$ xảy ra $<=>a=b=c=1$
đề là ab+bc+ca+abc=4 ạ, mình viết nhầm nữa ._.
Nếu gt thay đổi thì ta cũng chỉ cần biến đổi thêm chút là đc :v
Từ gt=>abc$\leq 1$
Ta có bđt phụ : $\sum a^{2}+2abc+1\geq 2(\sum ab)$ (*)
Chứng minh (*): https://diendantoanh...bc1geq-2abbcca/
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : $3(\sum a^{2})+abc=\frac{1}{2}\left [ 6(\sum a^{2})+2abc \right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 5(\sum a^{2})+2(\sum ab) -1\right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 7(\sum ab) -1\right ]= \frac{1}{2}\left [ 7(4-abc) -1\right ]\geq 10$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 30-03-2017 - 14:15
Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…
________________________________________________
Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...
Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...
-----------------------
My facebook : https://www.facebook...100021740291096
Đây là 1 BĐT quá tầm phào không một chút tinh tế.
BĐT đã cho tương đương:
$3(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)\geq6$
CM BĐT mạnh hơn : $a^2+b^2+c^2\geq3$. Quá đơn giản với gt $ab+bc+ca+abc=4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 01-05-2017 - 11:23
AQ02
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=4.$
Chứng minh rằng : $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc \geq 10$
Ta có
\[3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc - 10 = \frac{1}{6(a+b+c)} \sum \left[(7c + 2a)(a-b)^2 + (9a+3b+16c+32)(c-1)^2\right] \geqslant 0.\]
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức $N= 6 - 3a - 4b + 2ab$Bắt đầu bởi Phuockq, 10-04-2024 cực trị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh