Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HSG tp Hà Nội năm 2016-2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 17 trả lời

#1
trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 551 Bài viết

nguồn : thầy Võ Quốc Bá Cẩn

Hình gửi kèm

  • 17457954_10211885091699603_2382314418439346794_n.jpg


#2
LOVE MATHS

LOVE MATHS

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

cậu làm đc bao nhiêu điểm zậy ?



#3
trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 551 Bài viết

           SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                             KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

                      HÀ NỘI                                                   LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 – 2017

           ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                 Môn thi: Toán

                                                               Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm có 01 trang)

 

 

Câu 1: (5,0 điểm)
1. Chứng minh $n^5+5n^3-6n$ chia hết cho 30, với mọi số nguyên dương n.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ sao cho $x^2+8y$ và $y^2+8x$ là các số chính phương
Câu 2: (5,0 điểm)
1. Giải phương trình $\sqrt{2x-\frac{3}{x}}+\sqrt{\frac{6}{x}-2x}=1+\frac{3}{2x}$
2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{4x}{5y}}=\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} & & \\ \sqrt{\frac{5y}{x}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} & & \end{matrix}\right.$
Câu 3: (3,0 điểm)
 Với các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2$ 
1. Chứng minh $x+y+z\leq 2+xy$
2. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $P=\frac{x}{2+yz}+\frac{y}{2+zx}+\frac{z}{2+xy}$
Câu 4: (6,0 điểm)
 Cho tam giác nhọn $ABC$ $(BC>CA>AB)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm H. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt tia phân giác góc $\widehat{ABC}$ tại điểm thứ hai M. Gọi P là trực tâm tam giác BCM
1. Chứng minh bốn điểm $A,B.C,P$ cùng thuộc một đường tròn
2. Đường thẳng H song song với AO cắt cạnh BC tại E. Gọi F là điểm trên cạnh BC sao cho $CF=BE$. Chứng minh ba điểm $A,F,O$ thẳng hàng
3. Gọi N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM. Chứng minh $PN=PO$
Câu 5 ( 1,0 điểm)
Trên bàn có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Hai người A và B lần lượt mỗi người lấy một tấm thẻ trên bàn sao cho nếu người A lấy tấm thẻ đánh số $n$ thì đảm bảo người B chọn được tấm thẻ đánh số $2n+2$. Hỏi người A có thể lấy được nhiều nhất bao nhiêu tấm thẻ trên bàn thỏa mãn yêu cầu trên?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 28-03-2017 - 12:06


#4
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết
Câu 2: (5,0 điểm)
1. Giải phương trình $\sqrt{2x-\frac{3}{x}}+\sqrt{\frac{6}{x}-2x}=1+\frac{3}{2x}$
2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{4x}{5y}}=\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} & & \\ \sqrt{\frac{5y}{x}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} & & \end{matrix}\right.$

Chém câu dễ nhất trước vậy

1.

ĐK:....
Phương trình đã cho tương đương với:

$\sqrt{2x-\frac{3}{x}}+\sqrt{\frac{6}{x}-2x}=1+\frac{3}{2x}\Leftrightarrow \sqrt{2x-\frac{3}{x}}-1+\sqrt{\frac{6}{x}-2x}-1+1-\frac{3}{2x}=0\Leftrightarrow \frac{2x^2-x-3}{\sqrt{x}\sqrt{2x-\frac{3}{x}}+\sqrt{x}}+\frac{6-2x^2-x}{\sqrt{x}(\sqrt{\frac{6}{x}-2x}+1)}+\frac{2x-3}{2x}=0\Leftrightarrow (2x-3)(...)=0$

Kết hợp điều kiện......

2. Dễ thấy x, y = 0 không là nghiệm

ĐK:....

Nhân 2 vế: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{4x}{5y}}=\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} & & \\ \sqrt{\frac{5y}{x}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2y=2\Rightarrow y=1\Rightarrow x=\frac{5}{4}...$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 28-03-2017 - 22:15


#5
trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 551 Bài viết

Chém câu dễ nhất trước vậy

1.

ĐK:....
Phương trình đã cho tương đương với:

$\sqrt{2x-\frac{3}{x}}+\sqrt{\frac{6}{x}-2x}=1+\frac{3}{2x}\Leftrightarrow \sqrt{2x-\frac{3}{x}}-1+\sqrt{\frac{6}{x}-2x}-1+1-\frac{3}{2x}=0\Leftrightarrow \frac{2x^2-x-3}{\sqrt{x}\sqrt{2x-\frac{3}{x}}+\sqrt{x}}+\frac{6-2x^2-x}{\sqrt{x}(\sqrt{\frac{6}{x}-2x}+1)}+\frac{4x^2-3}{2x}=0\Leftrightarrow (2x-3)(...)=0$

Kết hợp điều kiện......

2. Dễ thấy x, y = 0 không là nghiệm

ĐK:....

Nhân 2 vế: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{4x}{5y}}=\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} & & \\ \sqrt{\frac{5y}{x}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2y=2\Rightarrow y=1\Rightarrow x=\frac{5}{4}...$

câu hệ đặt là thích hợp nhất



#6
caubehoanggia

caubehoanggia

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

trình thấp chỉ dám chém câu đầu

 

n5  +5n- 6n = (n5 -5n3 +4n) +(10n3-10n)

phân tích nhân tử ta đc

n5  +5n- 6n = (n5 -5n3 +4n) +(10n3-10n)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+10(n-1)n(n+1)

có(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên tích trên sẽ có ít nhất 1 số chia hết cho 2;3;5 mà (2;3;5)=1 nên tích trên chia hết cho 30

tương tự (n-1)n(n+1) chia hết cho 3 nên 10 (n-1)n(n+1) chia hết cho 30

đã CM xong bài toán ^^



#7
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

 

           SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                             KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

                      HÀ NỘI                                                   LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 – 2017

           ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                 Môn thi: Toán

                                                               Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm có 01 trang)

 

 

Câu 1: (5,0 điểm)
1. Chứng minh $n^5+5n^3-6n$ chia hết cho 30, với mọi số nguyên dương n.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ sao cho $x^2+8y$ và $y^2+8x$ là các số chính phương
 

2. Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y$ 

$\Rightarrow x^{2}< x^{2}+8y \leq x^{2}+8x < (x+4)^{2}$

VÌ $x^{2}+8y$ là số chính phương suy ra $x^{2}+8y=(x+1)^{2}$ hoặc $x^{2}+8y=(x+2)^{2}$ hoặc $x^{2}+8y=(x+3)^{2}$

Nếu $x^{2}+8y=(x+1)^{2}$

       $\Rightarrow 8y=2x+1$ (vô lí vì 1 bên lẻ 1 bên chẵn)

Nếu $x^{2}+8y=(x+2)^{2}\Rightarrow 8y=4x+4 \Rightarrow 2y=x+1$

        $\Rightarrow (\frac{x+1}{2})^{2}+8x$ là số chính phương.

        $\Rightarrow x^{2}+34x+1=a^{2}$ với $a\in \mathbb{N}$

        $\Rightarrow (x+17)^{2}-288=a^{2}$

        $\Rightarrow (x+17-a)(x+17+a)=288$

Đến đây thì dễ rồi

Nếu $x^{2}+8y=(x+3)^{2} \Rightarrow 8y=6x+9$ (Vô lí vì $VT$ chẵn còn $VP$ thì không)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 28-03-2017 - 13:18

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#8
Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết

Câu bất:
Max quá dễ áp dụng câu a là xong. 
Min:

$\sum \frac{x}{2+yz}=\sum \frac{x^{2}}{x(2+yz)} \geq \sum \frac{x^{2}}{x(2+\frac{y^{2}+z^{2}}{2})}=\sum \frac{x^{2}}{x(2+\frac{2-x^{2}}{2})}=\sum \frac{x^{2}}{\frac{x}{2}.(6-x^{2})}$

Theo A-G ta có (tiếp tuyến trá hình)

$(6-x^{2})(6-x^{2})2x^{2}\leq \frac{1}{27}.\left ( 6-x^{2} +6-x^{2}+2x^{2}\right )^{3}=64\Leftrightarrow (6-x^{2})x\leq 4\sqrt{2}$

$\Rightarrow LHS\geq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\sqrt{2}$; $y=z=0$ và các cặp hoán vị.



#9
Dung Gia

Dung Gia

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Ai làm được câu 5 k ??


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Gia: 28-03-2017 - 17:54


#10
tienduc

tienduc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 580 Bài viết

2. Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y$ 

$\Rightarrow x^{2}< x^{2}+8y \leq x^{2}+8x < (x+4)^{2}$

VÌ $x^{2}+8y$ là số chính phương suy ra $x^{2}+8y=(x+1)^{2}$ hoặc $x^{2}+8y=(x+2)^{2}$ hoặc $x^{2}+8y=(x+3)^{2}$

Nếu $x^{2}+8y=(x+1)^{2}$

       $\Rightarrow 8y=2x+1$ (vô lí vì 1 bên lẻ 1 bên chẵn)

Nếu $x^{2}+8y=(x+2)^{2}\Rightarrow 8y=4x+4 \Rightarrow 2y=x+1$

        $\Rightarrow (\frac{x+1}{2})^{2}+8x$ là số chính phương.

        $\Rightarrow x^{2}+34x+1=a^{2}$ với $a\in \mathbb{N}$

        $\Rightarrow (x+17)^{2}-288=a^{2}$

        $\Rightarrow (x+17-a)(x+17+a)=288$

Đến đây thì dễ rồi

Nếu $x^{2}+8y=(x+3)^{2} \Rightarrow 8y=6x+9$ (Vô lí vì $VT$ chẵn còn $VP$ thì không)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 28-03-2017 - 18:40


#11
Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết

Đáp án toàn đề. Nguồn: Thầy Cẩn.

File gửi kèm



#12
tienduc

tienduc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 580 Bài viết

Chém câu dễ nhất trước vậy

1.

ĐK:....
Phương trình đã cho tương đương với:

$\sqrt{2x-\frac{3}{x}}+\sqrt{\frac{6}{x}-2x}=1+\frac{3}{2x}\Leftrightarrow \sqrt{2x-\frac{3}{x}}-1+\sqrt{\frac{6}{x}-2x}-1+1-\frac{3}{2x}=0\Leftrightarrow \frac{2x^2-x-3}{\sqrt{x}\sqrt{2x-\frac{3}{x}}+\sqrt{x}}+\frac{6-2x^2-x}{\sqrt{x}(\sqrt{\frac{6}{x}-2x}+1)}+$$\frac{4x^2-3}{2x}=0$$\Leftrightarrow (2x-3)(...)=0$

Kết hợp điều kiện.....

 

Chỗ này phải là $\frac{2x-3}{2x}$ chứ nhỉ



#13
Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết

Lời giải bài bất của thầy Nguyễn Việt Hùng - GV Trường THPT Chuyên KHTN .

Bài giải bất của mình ở trên sai các bạn tham khảo của anh Cẩn hoặc thầy Hùng

File gửi kèm



#14
kienvuhoang

kienvuhoang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Mình max 14 nhé!

Ai cùng thi và thi đc ko thì nói luôn vs mình nhé



#15
Huyen Khanh Nguyen

Huyen Khanh Nguyen

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
Mình thi về tính ra max được 15,5. Cuối cùng được 15,25 chắc tại bài phương trình vô tỉ làm tắt.

#16
trinhhoangdung123

trinhhoangdung123

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Bài 5 (1.0 điểm). Trên bàn có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100: Hai người A và B

lần lượt mỗi người lấy một tấm thẻ trên bàn sao cho nếu người A lấy tấm thẻ đánh số n thì

đảm bảo người B chọn được tấm thẻ đánh số 2n + 2. Hỏi người A có thể lấy được nhiều

nhất bao nhiêu tấm thẻ trên bàn thỏa mãn yêu cầu trên ?

                                                                      Lời giải.

      Vì B bốc thẻ 2n + 2 nên 2n + 2 ≤ 100: Suy ra n ≤ 49. Do đó, A chỉ được bốc các thẻ đánh từ 1 đến 49.

      Bây giờ, ta phân hoạch tập { 1; 2; . . . ; 49 } thành 33 tập con như sau:

 { 1; 4 };{ 3; 8 };{ 5; 12 }; . . . ; { 23; 49 } (12 nhóm);

 { 2; 6 };{10; 22 };{ 14; 30 };{ 18; 38 } (4 nhóm);

 { 25 };{ 27};{ 29 }; : : : ; { 49 } (13 nhóm);

 { 26 };{ 32 };{ 42 };{ 46 } (4 nhóm).

      Ở mỗi nhóm, A được chọn tối đa một số. Nếu A chọn nhiều hơn 34 số trong các số từ 1

đến 49 thì theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai số thuộc cùng một nhóm (vô lý). Do đó, A

được chọn không quá 33 số.

      Mặt khác, A có thể chọn 33 số sau :

{ 1; 3; 5; : : : ; 23; 2; 10; 14; 18; 25; 27; 29; : : : ; 49; 26; 32; 42; 46 }

thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.

     Vậy người A có thể lấy nhiều nhất 33 tấm thẻ trên bàn thỏa mãn yêu cầu trên.

 



#17
trinhhoangdung123

trinhhoangdung123

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Bài 5 (1.0 điểm). Trên bàn có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100: Hai người A và B

lần lượt mỗi người lấy một tấm thẻ trên bàn sao cho nếu người A lấy tấm thẻ đánh số n thì

đảm bảo người B chọn được tấm thẻ đánh số 2n + 2. Hỏi người A có thể lấy được nhiều

nhất bao nhiêu tấm thẻ trên bàn thỏa mãn yêu cầu trên ?

                                                                      Lời giải.

      Vì B bốc thẻ 2n + 2 nên 2n + 2 ≤ 100: Suy ra n ≤ 49. Do đó, A chỉ được bốc các thẻ đánh từ 1 đến 49.

      Bây giờ, ta phân hoạch tập { 1; 2; . . . ; 49 } thành 33 tập con như sau:

 { 1; 4 };{ 3; 8 };{ 5; 12 }; . . . ; { 23; 49 } (12 nhóm);

 { 2; 6 };{10; 22 };{ 14; 30 };{ 18; 38 } (4 nhóm);

 { 25 };{ 27};{ 29 }; : : : ; { 49 } (13 nhóm);

 { 26 };{ 32 };{ 42 };{ 46 } (4 nhóm).

      Ở mỗi nhóm, A được chọn tối đa một số. Nếu A chọn nhiều hơn 34 số trong các số từ 1

đến 49 thì theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai số thuộc cùng một nhóm (vô lý). Do đó, A

được chọn không quá 33 số.

      Mặt khác, A có thể chọn 33 số sau :

{ 1; 3; 5; : : : ; 23; 2; 10; 14; 18; 25; 27; 29; : : : ; 49; 26; 32; 42; 46 }

thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.

     Vậy người A có thể lấy nhiều nhất 33 tấm thẻ trên bàn thỏa mãn yêu cầu trên.



#18
syhoangtran

syhoangtran

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Chém câu dễ nhất trước vậy

1.

ĐK:....
Phương trình đã cho tương đương với:

$\sqrt{2x-\frac{3}{x}}+\sqrt{\frac{6}{x}-2x}=1+\frac{3}{2x}\Leftrightarrow \sqrt{2x-\frac{3}{x}}-1+\sqrt{\frac{6}{x}-2x}-1+1-\frac{3}{2x}=0\Leftrightarrow \frac{2x^2-x-3}{\sqrt{x}\sqrt{2x-\frac{3}{x}}+\sqrt{x}}+\frac{6-2x^2-x}{\sqrt{x}(\sqrt{\frac{6}{x}-2x}+1)}+\frac{2x-3}{2x}=0\Leftrightarrow (2x-3)(...)=0$

Kết hợp điều kiện......

2. Dễ thấy x, y = 0 không là nghiệm

ĐK:....

Nhân 2 vế: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{4x}{5y}}=\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} & & \\ \sqrt{\frac{5y}{x}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2y=2\Rightarrow y=1\Rightarrow x=\frac{5}{4}...$

câu pt đặt thì hay hơn bn ak


nếu chúng ta cố gắng không có gì là không thể...................





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh