1. Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA =$a\sqrt{2}$ và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
b) Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B', C', D'. Chứng minh B'D' song song với BD và AB' vuông góc với SB.
c) Xác định điểm O cách đểu 5 đỉnh của hình chóp.
d) Xác định điểm I cách đều 7 điểm A,B,C,D,B',C',D' .
e) M là một điểm di động trên đoạn BC, gọi K là hình chiếu của S trên DM. Tìm quỹ tích các điểm K khi M di động.
f) Đặt BM = x. Tính độ dài đoạn SK theo a và x. Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK.
b)
có $\widehat{SC'B'} =\widehat{SC'D'} =90^\circ$
$\triangle SAB=\triangle SAD$(c, g, c)
$\Rightarrow SB =SD$
$\Rightarrow\triangle SBC=\triangle SDC$(c, c, c)
$\Rightarrow\widehat{BSC} =\widehat{DSC}$
$\Rightarrow\triangle SC'B'=\triangle SC'D'$(g, c, g)
$\Rightarrow SB' =SD'$
mà $SB =SD$
$\Rightarrow BD //B'D'$
có $\triangle SC'B'\sim\triangle SBC$(g, g)
$\Rightarrow\frac{SB'}{SC} =\frac{SC'}{SB}$
$\Rightarrow SB' .SB =SC' .SC =SA^2$
$\Rightarrow AB'\perp SB$
c)
có AC =AS$\Rightarrow C'$ là trung điểm SC
các tam giác SAC, ABC, SDC đều vuông
$\Rightarrow C'$ cách đều S, C, A, B, D
d)
AC cắt BD tại I
có $AB'\perp SB$ và $AD\perp SB$
$\Rightarrow SB\perp (AB'D)$
$\Rightarrow SB\perp B'D$
các tam giác BAD, BCD, BB'D, BD'D, AC'C đều vuông
$\Rightarrow I$ cách đều B, D, A, C, B', D', C'
e)
$AK\perp DM$ và $SA\perp DM$
$\Rightarrow DM\perp(SAK)$
$\Rightarrow DM\perp AK$
$\Rightarrow$ khi M di động, K nằm trên phần đường tròn đường kính AD phần thuộc tam giác ICD
f)
BM =x$\Rightarrow MC =a -x$
$\Rightarrow DM^2 =a^2 +(a -x)^2 =2a^2 -2ax +x^2$
$S_{ADM} =\frac12a^2=\frac12.AK .DM$
$\Rightarrow AK^2 =\frac{a^4}{2a^2 -2ax +x^2}$
$\Rightarrow SK^2 =AS^2 +AK^2 =\frac{3a^4 -4a^3x +2a^2x^2}{2a^2 -2ax +x^2}$
SK^2 =SA^2 +AK^2$\Rightarrow$ SK nhỏ nhất khi AK nhỏ nhất
AK cắt BD tại E
K nằm trong tam giác ICD
$\Rightarrow AK\geqslant AE\geqslant AI$
dấu = xảy ra khi M trùng B hay K trùng I, khi đó SK nhỏ nhất
