Chủ đề này có 2 trả lời

[Thao Meo]

Cho a,b,c nguyên dương thỏa mãn $c(ac+1)^2=(2c+b)(3c+b)$
Chứng minh c là số chính phương

[Baoriven]

Từ điều kiện bài toán thì: $c(ac+1)^2=6c^2+5bc+b^2\Rightarrow b^2\vdots c$.

Gọi $p$ là ước nguyên tố tùy ý của $c$.

Ta có: $2v_p(b)\geq v_p(c)$.

Giả sử $v_p(b)\geq v_p(c)$.

Do $(ac+1;c)=1$ nên : $v_p(c)=v_p(2c+b)+v_(3c+b)\geq 2v_p(c)$. (vô lý).

Vậy $v_p(b)< v_p(c)$.

Nên $v_p(c)=v_p(2c+b)+v_p(3c+b)\geq 2v_p(b)$.

Do đó: $v_p(c)=2v_p(b)$.

Suy ra $c$ là số chính phương. 

[minhbeo12]

Ta có: c(ac + 1)² = (2c + b)(3c + b)       (1)

Gọi (b, c) = d. Đặt b = db₁

                              c = dc₁          (b₁, c₁) = 1

(1) <=> c₁(ac + 1)² = d(2c₁ + b₁)(3c₁ + b₁)        (2)

 

Gọi (ac + 1, d) = k. Ta có c chia hết cho d => c chia hết cho k => 1 chia hết cho k

Do đó (ac + 1, d) = 1 

(2) => c₁ chia hết cho d. Đặt c₁ = c₂d.

 

(2) <=> c₂(ac + 1)² = (2c₁ + b₁)(3c₁ + b₁)

Gọi (c₂, 2c₁ + b₁) = x. Ta có c₁ chia hết cho c₂ => c₁ chia hết cho x => b₁ chia hết cho x (Loại do (b₁, c₁) = 1)

Tương tự (c₂, 2c₁ + b₁) = 1.

Do đó c₂ = 1=> c₁ = d => c = d²