Cho a,b,c nguyên dương thỏa mãn $c(ac+1)^2=(2c+b)(3c+b)$
Chứng minh c là số chính phương
$c(ac+1)^2=(2c+b)(3c+b)$
#1
Đã gửi 28-03-2017 - 23:42
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
#2
Đã gửi 31-12-2017 - 16:38
Từ điều kiện bài toán thì: $c(ac+1)^2=6c^2+5bc+b^2\Rightarrow b^2\vdots c$.
Gọi $p$ là ước nguyên tố tùy ý của $c$.
Ta có: $2v_p(b)\geq v_p(c)$.
Giả sử $v_p(b)\geq v_p(c)$.
Do $(ac+1;c)=1$ nên : $v_p(c)=v_p(2c+b)+v_(3c+b)\geq 2v_p(c)$. (vô lý).
Vậy $v_p(b)< v_p(c)$.
Nên $v_p(c)=v_p(2c+b)+v_p(3c+b)\geq 2v_p(b)$.
Do đó: $v_p(c)=2v_p(b)$.
Suy ra $c$ là số chính phương.
- Khoa Linh yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#3
Đã gửi 31-12-2017 - 20:26
Ta có: c(ac + 1)2 = (2c + b)(3c + b) (1)
Gọi (b, c) = d. Đặt b = db1
c = dc1 (b1, c1) = 1
(1) <=> c1(ac + 1)2 = d(2c1 + b1)(3c1 + b1) (2)
Gọi (ac + 1, d) = k. Ta có c chia hết cho d => c chia hết cho k => 1 chia hết cho k
Do đó (ac + 1, d) = 1
(2) => c1 chia hết cho d. Đặt c1 = c2d.
(2) <=> c2(ac + 1)2 = (2c1 + b1)(3c1 + b1)
Gọi (c2, 2c1 + b1) = x. Ta có c1 chia hết cho c2 => c1 chia hết cho x => b1 chia hết cho x (Loại do (b1, c1) = 1)
Tương tự (c2, 2c1 + b1) = 1.
Do đó c2 = 1=> c1 = d => c = d2
- Khoa Linh yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh