Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $\widehat{BAC}=90^o, AB=a, AC=a\sqrt{3}$. BCC'B' là hình vuông. M, N lần lượt là trung điểm CC' và B'C'. Tính d(AB;MN)
Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $\widehat{BAC}=90^o, AB=a, AC=a\sqrt{3}$.Tính d(AB;MN)
#1
Đã gửi 30-03-2017 - 00:52
#2
Đã gửi 30-03-2017 - 21:49
Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $\widehat{BAC}=90^o, AB=a, AC=a\sqrt{3}$. BCC'B' là hình vuông. M, N lần lượt là trung điểm CC' và B'C'. Tính d(AB;MN)?
Mình tính theo cách này hơi dài
Từ B kẻ đường song song MN cắt B'C' tại T
Ta có (BAT)//MN
Ta tìm hình chiếu của N lên mặt phẳng này nhưng khó nên tìm hình chiếu của A' trước
Do AB vuông góc với AC cũng vuông góc với AA' nên AB vuông góc với (ACA')
Cần tìm giao tuyến của (ACA') với (ABT)
Từ T kẻ đg thẳng //B'A' cắt A'C' (tức là song song BA) tại R suy ra R thuộc (ABT)
$\Rightarrow AR$ là giao tuyến cần tìm
Từ A' kẻ A'F vuông góc với AR $\Rightarrow$ F là hình chiếu của A' lên (ABT)
Nối A'N cắt TR tại H
Qua N kẻ đường thẳng song song với A'F cắt HF tại K thì K là hình chiếu của N lên (ABT)
Qua K kẻ đường thẳng //BT tức //MN cắt AB tại E
Qua E kẻ đường thẳng NK cắt MN tại G
==> EG là đường vuông góc chung và=d(AB;MN)
TA chỉ cần tính đoạn NK
AA'=2a
A'R=A'C'=$\sqrt{3}a$ (vì A'B'//RT mà B' là trung điểm của C'T)
==>A'F=a$\frac{2\sqrt{21}}{7}$
==>$d(AB;MN)=a\frac{3\sqrt{21}}{7}$
- chieckhantiennu và leminhnghiatt thích
#3
Đã gửi 31-03-2017 - 20:06
Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $\widehat{BAC}=90^o, AB=a, AC=a\sqrt{3}$. BCC'B' là hình vuông. M, N lần lượt là trung điểm CC' và B'C'. Tính d(AB;MN)
Mình có cách này ngắn hơn xíu
Lấy H là trung điểm $AC' \rightarrow NH // AB' \rightarrow NH // AB \rightarrow d(AB,MN)=d(AB, (MNH))=d(B,(MNH))$
Dễ chứng minh được $d(B,(MNH))=3 d(C',(MNH))$
Ta có: $d(C',(MNH))=\dfrac{C'H.C'M}{\sqrt{C'H^2+C'M^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
$\rightarrow d(B,(MNH))=3 d(C',(MNH))=\dfrac{3a\sqrt{21}}{7}$
Vậy $d(AB,MN)=\dfrac{3a\sqrt{21}}{7}$
- chieckhantiennu, chanhquocnghiem và Chika Mayona thích
Don't care
#4
Đã gửi 31-03-2017 - 21:10
Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $\widehat{BAC}=90^o, AB=a, AC=a\sqrt{3}$. BCC'B' là hình vuông. M, N lần lượt là trung điểm CC' và B'C'. Tính d(AB;MN)
Gọi $P$ là trung điểm $A'C'\Rightarrow NP//A'B'//AB\Rightarrow d(AB,MN)=d(AB,(MNP))=d(A,(MNP))$
Kẻ $AK\perp MP\ \(K\in MP)$ (1)
Ta lại có $NP\perp A'C'$ và $NP\perp AA'\Rightarrow NP\perp (ACC'A')\Rightarrow AK\perp NP$ (2)
(1),(2) $\Rightarrow d(A,(MNP))=AK=d(A,MP)$
Trong mặt phẳng $(AA'C'C)$ chọn $A'$ làm gốc tọa độ, các tia $A'C',A'A$ lần lượt là $Ox$ và $Oy$
Ta có $M\left ( a\sqrt{3};a \right ),P\left ( \frac{a\sqrt{3}}{2};0 \right )\Rightarrow MP:2\ x-\sqrt{3}\ y-\sqrt{3}\ a=0$
$A(0;2a)\Rightarrow d(A,MP)=\frac{3\sqrt{3}\ a}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{21}}{7}\ a$
Vậy $d(AB,MN)=\frac{3\sqrt{21}}{7}\ a$
- chieckhantiennu, leminhnghiatt và Chika Mayona thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh