Chủ đề này có 4 trả lời

[gagaga]

cho a,b,c >=0. CMR:

$ \sqrt{\frac{a+b}{c}} + \sqrt{\frac{c+b}{a}} + \sqrt{\frac{a+c}{b}} \geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gagaga: 31-03-2017 - 20:36

[hthang0030]

cho a,b,c >=0. CMR:

$ \sqrt{\frac{a+b}{c}} + \sqrt{\frac{c+b}{a}} + \sqrt{\frac{a+c}{b}} \geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}

Chuẩn hóa $a+b+c=1$

BĐT cần chứng minh

<=>$\sum \frac{1-3a}{\sqrt{a(1-a)}}\geq 0$

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

=>$1-3a\leq 1-3b\leq 1-3c$

và $\frac{1}{\sqrt{a(1-a)}}\leq \frac{1}{\sqrt{b(1-b)}}\leq \frac{1}{\sqrt{c(1-c)}}$

Theo BĐT Chebyshev

=>$3\sum \frac{1-3a}{\sqrt{a(1-a)}}\geq\sum (1-3a).\sum \frac{1}{\sqrt{a(1-a)}}=0$

=>Q.E.D

Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=\frac{1}{3}$

[gagaga]

bạn ơi có cách nào mà k dùng chuẩn hoá k?

[iloveyouproht]

cho a,b,c >=0. CMR:

$ \sqrt{\frac{a+b}{c}} + \sqrt{\frac{c+b}{a}} + \sqrt{\frac{a+c}{b}} \geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}})$

Cách khác b xem ở đây nhé

https://diendantoanh...bcasqrtfraccab/

[KietLW9]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $(\sqrt{\frac{a+b}{c}}-\frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{a+b}})+(\sqrt{\frac{b+c}{a}}-\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}})(\sqrt{\frac{c+a}{b}}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{c+a}})\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}}\geqslant 0$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì $b+c-2a\leqslant c+a-2b\leqslant a+b-2c$ và $\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều $b+c-2a\leqslant c+a-2b\leqslant a+b-2c$ và $\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$, ta được: $3(\frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}})\geqslant (b+c-2c+c+a-2b+a+b-2c)(\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}+ \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}+ \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}})=0$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c$