Chủ đề này có 1 trả lời

[KaveZS]

Hình chóp có 7 trong số 8 cạnh đều bằng a, cạnh còn lại có độ dài thay đổi

Mệnh đề sau đúng hay sai

 

V_ChópTG ≤ $\frac{a^3}{4}$

(Đề tự chế)

[chanhquocnghiem]

Hình chóp có 7 trong số 8 cạnh đều bằng a, cạnh còn lại có độ dài thay đổi

Mệnh đề sau đúng hay sai

 

V_ChópTG ≤ $\frac{a^3}{4}$

(Đề tự chế)

Xét 2 trường hợp :

a) Đáy hình chóp là hình vuông cạnh $a$ :

    Dễ dàng suy ra là $4$ cạnh bên cũng bằng $a$ và chiều cao là $h=\frac{a}{\sqrt{2}}$

    $\Rightarrow V=\frac{1}{3}\ S_{day}.h=\frac{\sqrt{2}}{6}\ a^3$ (1)

 

b) Đáy là tứ giác $ABCD$ có $AB=BC=CD=a$ ; các cạnh bên $SA,SB,SC,SD$ đều bằng $a$ :

    Gọi $O$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)\Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABCD$ (gọi bán kính đường tròn này là $r$)

    Đặt $\measuredangle AOB=\measuredangle BOC=\measuredangle COD=\alpha$ ; $\measuredangle DOA=\beta$

    $\sin\frac{\alpha }{2}=\frac{a}{2r}$ ; $\cos\frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{4r^2-a^2}}{2r}\Rightarrow \sin\alpha =\frac{a\sqrt{4r^2-a^2}}{2r^2}$

    $S_{AOB}=S_{BOC}=S_{COD}=\frac{r^2\sin\alpha }{2}=\frac{a\sqrt{4r^2-a^2}}{4}$

    $\sin3\alpha =3\sin\alpha -4\sin^3\alpha =\frac{(3ar^4-4a^3r^2+a^5)\sqrt{4r^2-a^2}}{2r^6}$

    $\sin\beta =-\sin3\alpha =\frac{(4a^3r^2-3ar^4-a^5)\sqrt{4r^2-a^2}}{2r^6}$

    $S_{DOA}=\frac{r^2\sin\beta }{2}=\frac{(4a^3r^2-3ar^4-a^5)\sqrt{4r^2-a^2}}{4r^4}$

    $S_{ABCD}=3\ S_{AOB}+S_{DOA}=\frac{(4r^2-a^2)^{\frac{3}{2}}}{4r^4}\ a^3$

    $h=\sqrt{a^2-r^2}=(a^2-r^2)^{\frac{1}{2}}$

    $\Rightarrow V=\frac{S_{ABCD}.h}{3}=\frac{a^3}{12}.\frac{(4r^2-a^2)^{\frac{3}{2}}(a^2-r^2)^{\frac{1}{2}}}{r^4}$

    $V'(r)=0\Leftrightarrow \left [ 12r(4r^2-a^2)^{\frac{1}{2}}(a^2-r^2)^{\frac{1}{2}}-r(a^2-r^2)^{-\frac{1}{2}}(4r^2-a^2)^{\frac{3}{2}} \right ].r^4=4r^3(4r^2-a^2)^{\frac{3}{2}}(a^2-r^2)^{\frac{1}{2}}$

    $\Leftrightarrow \frac{12\ r^2}{4r^2-a^2}-\frac{r^2}{a^2-r^2}=4\Leftrightarrow r=\frac{2}{\sqrt{7}}\ a$

    Thay $r=\frac{2}{\sqrt{7}}\ a$ vào biểu thức của $V$, ta có :

    $V_{max}=\frac{a^3}{12}.\frac{27\sqrt{3}}{16}=\frac{9\sqrt{3}}{64}\ a^3$ (2)

 

Từ (1) và (2), ta có $V_{max}=\frac{9\sqrt{3}}{64}\ a^3$ (dấu bằng xảy ra khi $r=\frac{2}{\sqrt{7}}\ a$)