Chủ đề này có 1 trả lời

[tuyet tran]

Giúp mình với ạ :

Giả sử V₁ ,..., V_k  là các khônggian cocon riêng của tự đồng cấu f : V->V ứng với những giá trị riêng đôi một khác nhau  $\lambda$₁ ,...,$\lambda$_k  . Cmr khi đó tổng V1+...+ V_k  là một tổng trực tiếp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuyet tran: 02-04-2017 - 02:21

[WhjteShadow]

Giúp mình với ạ :

Giả sử V₁ ,..., V_k  là các khônggian cocon riêng của tự đồng cấu f : V->V ứng với những giá trị riêng đôi một khác nhau  $\lambda$₁ ,...,$\lambda$_k  . Cmr khi đó tổng V1+...+ V_k  là một tổng trực tiếp

Bạn nên xem thêm về cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn nhé, chỉ số $\lambda_1,\cdots, \lambda_k$ mình không gõ như thế, sẽ nhìn xấu. Bình thường người ta sẽ viết là 

$ \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$

Về bài toán, để cho tiện ta sẽ sử dụng quy nạp.

Với trường hợp $k=1$ thì không có gì phải bàn. Giả sử giả thiết đúng đến $k-1$, ta chứng minh cho trường hợp $k$. Nhận xét rằng sự kiện $V_1 + V_2 + \cdots + V_k$ là tổng trực tiếp tương đương với sự kiện 

$$V_i \cap \left(\sum_{j<i} V_j\right) =\{0\}, \,\,\, (i = 2, \cdots, k).$$

Điều kiện trên đương nhiên đúng với $i < k-1$ (sử dụng giả thiết quy nạp), ta chỉ cần chứng minh

$$V_k \cap \left(\sum_{j=1}^{k-1} V_j\right) =\{0\}.$$

Thực vậy giả sử có $v \in V_k \cap (\sum_{j=1}^{k-1} V_j)$, thì tồn tại $x_1, \cdots, x_{k-1}\in \mathbb{R}$ và $v_1,\cdots, v_{k-1}$ lần lượt thuộc $V_1,\cdots, V_{k-1}$ để

$$v = \sum_{j=1}^{k-1} x_j v_j.$$

Tác động $f$ vào hai vế, để ý điều kiện 

$$\lambda_{k} v = f(v) = f(\sum_{j=1}^{k-1} x_j v_j)= \sum_{j=1}^{k-1} x_j \lambda_j v_j.$$

Từ hai đằng thức trên, suy ra 

$$\sum_{j=1}^{k-1} x_j (\lambda_j-\lambda_{k}) v_j = 0.$$

Vì tổng $V_1 \oplus \cdots \oplus V_{k-1}$ là trực tiếp, suy ra $ x_j (\lambda_j -\lambda_k)= 0$ với mọi $j = 1, \cdots, k-1$, nhưng các $\lambda_j \neq \lambda_k$ với mọi $j$, nên $x_j = 0 \forall j = 1, \cdots, k-1$.

Tóm lại $v=0$ nếu $v \in V_k \cap (\sum_{j=1}^{k-1} V_j)$, hay $v \in V_k \cap (\sum_{j=1}^{k-1} V_j)=\{0\}$. Quy nạp kết thúc.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 03-04-2017 - 17:44