Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x-f(y))=f(x+y^{2014})+f(f(y)+y^{2014})+2016, \forall x, y\in \mathbb{R}.$

[I Love MC]

Đặt $f(0)=a$ . Gọi phương trình đã cho là $(1)$ , cho $y=0$vào $(1)$ 
$f(x-a)=f(x)+f(a)+2016 (2)$
Nếu $a=0$ thì từ $(2)$ ta có $f(x)=f(x)+2016$ vô lí . Vậy $a \ne 0$ 
Từ $(1)$ thay $x$ bởi $f(y)$ tadduowjc 
$a=f(f(y)+y^{2014})+f(f(y)+y^{2014})+2016$ 
$\Rightarrow f(f(y)+y^{2014})=b,b=\frac{a-2016}{2} (3)$ 
Từ $(1),(3)$ ta có $f(x-f(y))=f(x+y^{2014})+c,c=b+2016 (4)$ 
Từ $(4)$ thay $x$ bởi $x+f(y)$ta được $f(x)=f(x+f(y)+y^{2014})+c (5)$ 
Đặt $g(x)=f(x)+x^{2014} \Rightarrow g(0)=a$ lúc đó $(5)$ được viết lại : $f(x)=f(x+g(y))+c (6)$ 
Đặt $h(y)=g(y+g(0))-g(y)=f(y+g(0))+(y+g(0))^{2014}-f(y)-y^{2014}$ . Từ $(6)$ cho $y=0$ được : 
$f(x)=f(x+g(0))+c$ . Suy ra $h(y)=f(y)-c+(y+g(0))^{2014}-f(y)-y^{2014}=(y+g(0))^{2014}-y^{2014}-c $ 
Suy ra $ deg h=2013$ .Từ $(6)$ tacungx có $f(x+h(y))=f(x+h(y)+g(y))+c=f(x+g(y+g(0)))+c=f(x) (7)$. Mà $deg h \equiv 1 \pmod{2}$ nên $h$ là một toàn ánh.  
Từ $(7)$ ta có $f(x+\alpha)=f(x)$. Cho $x=0$ ta được$f(\alpha)=\alpha$ hay $f$ là hàm hằng . Dễ tính được $f(x)=-2016$