Chủ đề này có 1 trả lời

[Katyusha]

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AB=AC=a,BC=a\sqrt{3}, AA'=2a$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $AB'C'C$.

 

A. a

 

B. $a\sqrt{2}$

 

C. $a\sqrt{3}$

 

D. $a\sqrt{5}$

[chanhquocnghiem]

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AB=AC=a,BC=a\sqrt{3}, AA'=2a$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $AB'C'C$.

 

A. a

 

B. $a\sqrt{2}$

 

C. $a\sqrt{3}$

 

D. $a\sqrt{5}$

Gọi $O$ là tâm hình chữ nhật $AB'C'C$ ; $M$ là trung điểm $BC$

Thiết lập hệ tọa độ $Oxyz$ với tia $Ox//BC$ ; tia $Oy//MA$ (cùng chiều với $\overrightarrow{MA}$) ; tia $Oz$ hướng từ $O$ đến $M$

Dễ thấy $A\left ( 0;\frac{a}{2};a \right )$ và $OB'=OC'=OC=\sqrt{OM^2+MC^2}=\frac{\sqrt{7}}{2}\ a$

Do đó tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp phải nằm trên đường thẳng vuông góc với $(BB'C'C)$ tại $O$

Đặt $y_I=t$

$IB'^2=IC'^2=IC^2=t^2+OC^2=t^2+\frac{7}{4}\ a^2$

$IA^2=(y_I-y_A)^2+OM^2=\left ( t-\frac{a}{2} \right )^2+a^2=t^2-at+\frac{5a^2}{4}$

$\Rightarrow t^2-at+\frac{5a^2}{4}=t^2+\frac{7a^2}{4}\Rightarrow t=-\frac{a}{2}$

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp cần tìm là :

$R=IC=\sqrt{t^2+OC^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 03-04-2017 - 06:51