Chủ đề này có 1 trả lời

[dungxibo123]

Cho $a,b,c>0$ hãy chứng minh rằng $\sum \frac{1}{2abc+ab^2} \geq \frac{a+b+c}{3}$

 

 

P/s: Nếu cho thêm điều kiện $a+b+c=3$ thì em làm được, còn đề gốc không có điều kiện gì cả mà cũng chả biết nguồn lấy ở đâu ra nên em không biết đề có sai không, mong mọi người thông cảm ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 12-04-2017 - 12:20

[Nghiapnh1002]

Cho $a,b,c>0$ hãy chứng minh rằng $\sum \frac{1}{2abc+ab^2} \geq \frac{a+b+c}{3}$

 

 

P/s: Nếu cho thêm điều kiện $a+b+c=3$ thì em làm được, còn đề gốc không có điều kiện gì cả mà cũng chả biết nguồn lấy ở đâu ra nên em không biết đề có sai không, mong mọi người thông cảm ạ.

Câu này mình thấy xuất hiện trong đề đề nghị của trường THPT Mạc Đĩnh Chi năm 2016 cho kỳ thì 30-4 với điều kiện bài toán là $ab+bc+ca=3$ 

Mình xin trình bài cách giải: 

$VT$ $\Leftrightarrow \frac{bc}{2bc+b^2}+\frac{ac}{2ac+c^2}+\frac{ab}{2ab+a^2} \geq abc (\frac{a+b+c}{3})$ 

Đặt $bc=x, ca=y, ab=z $ thì ta có $x+y+z=3$ ki đó bất đẳng thức trở thành 

$\sum \frac{x}{2y+z} \geq \frac{xy+yz+zx}{3}$ $VT\Leftrightarrow \sum \frac{y}{2y+z} = \sum \frac{y^2}{2y^2+yz} \geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx}$

Cuối cùng ta cần chứng minh $\frac{(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx} \geq \frac{xy+yz+zx}{3}$ 

Tiếp tục đặt $x^2+y^2+z^2=m$,$xy+yz+zx=n$ thì cuối cùng ta cần chứng minh 

 

$(m+2n)^2 \geq 3n(m+n)$

Đúng do $m+2n=9, nên m^2+n^2 \geq 2mn$ 

Dấu $"="$ xãy ra khi $a=b=c=1$