Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH, trực tâm K

- - - - - lớp 10

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
supernatural1

supernatural1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH, trực tâm K. Đường thẳng BK cắt đường tròn đường kính AC tại D,E (BD<BE) đường thẳng CK cắt đường tròn đường kính AB tại F,G (CF<CG). Đường tròn ngoại tiếp tam giác DHF cắt BC tại điểm thứ hai là P.

a, Chứng minh các điểm G,H,P,E cùng thuộc một đường tròn.

b, Chứng minh các đường BF,CD,PK đồng quy



#2
quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Câu b và bài này giống nhau:

 

https://diendantoanh...uộc-cm-sao-cho/



#3
quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

a) $\angle AHG=\angle AFG=\angle AGK\Rightarrow AG^2=AK.AH$

 

Tương tự có $AE^2=AK.AH$

 

Vậy AE=AG=AF=AD $\Rightarrow$ tứ giác DFEG nội tiếp và A là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

 

Do A là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DFEG $\Rightarrow \angle DGE=\frac{1}{2}\angle DAE=\angle DAC$

 

$\angle DAC=\angle DHB=\angle DFP \Rightarrow \angle DEG=\angle DFP \Rightarrow$ E, F, P thẳng hàng.

 

Chứng minh tương tự có G, D, P thẳng hàng.

 

Ta có: $\angle PEG=\angle FEG=\frac{1}{2}\angle FAG=\angle BAG=\angle BHG\Rightarrow$ GHPE là tứ giác nội tiếp.

 

b) Gọi I là giao điểm của KP và DF.

 

Nếu tam giác ABC cân tại A thì KBC cân tại K, khi đó P trùng H dễ thấy BF, CD, KP đồng quy.

 

Nếu tam giác ABC không cân tại A, giả sử AB<AC.

 

Xét 3 đường tròn (DHPF), (GHPE), (GDFE) đôi một cắt nhau tại 3 trục đẳng phương HP, DF, GE nên HP, DE, GE đồng quy, gọi điểm đồng quy là S.

 

Ta có: $(PS,PK,PG,PE)=-1\Rightarrow (S,I,D,F)=-1\Rightarrow (KS,KI,KD,KF)=-1\Rightarrow (KS,KP,KB,KC)=-1\Rightarrow (S,P,B,C)=-1\Rightarrow \frac{SB}{SC}=\frac{PB}{PC}$

 

Do S, D, F thẳng hàng nên  BF, CD, KP đồng quy.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 10

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh