a) $\angle AHG=\angle AFG=\angle AGK\Rightarrow AG^2=AK.AH$
Tương tự có $AE^2=AK.AH$
Vậy AE=AG=AF=AD $\Rightarrow$ tứ giác DFEG nội tiếp và A là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
Do A là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DFEG $\Rightarrow \angle DGE=\frac{1}{2}\angle DAE=\angle DAC$
$\angle DAC=\angle DHB=\angle DFP \Rightarrow \angle DEG=\angle DFP \Rightarrow$ E, F, P thẳng hàng.
Chứng minh tương tự có G, D, P thẳng hàng.
Ta có: $\angle PEG=\angle FEG=\frac{1}{2}\angle FAG=\angle BAG=\angle BHG\Rightarrow$ GHPE là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi I là giao điểm của KP và DF.
Nếu tam giác ABC cân tại A thì KBC cân tại K, khi đó P trùng H dễ thấy BF, CD, KP đồng quy.
Nếu tam giác ABC không cân tại A, giả sử AB<AC.
Xét 3 đường tròn (DHPF), (GHPE), (GDFE) đôi một cắt nhau tại 3 trục đẳng phương HP, DF, GE nên HP, DE, GE đồng quy, gọi điểm đồng quy là S.
Ta có: $(PS,PK,PG,PE)=-1\Rightarrow (S,I,D,F)=-1\Rightarrow (KS,KI,KD,KF)=-1\Rightarrow (KS,KP,KB,KC)=-1\Rightarrow (S,P,B,C)=-1\Rightarrow \frac{SB}{SC}=\frac{PB}{PC}$
Do S, D, F thẳng hàng nên BF, CD, KP đồng quy.