Chủ đề này có 4 trả lời

[gagaga]

cho $a,b,c>0$ .CMR:

$ \frac{a}{\sqrt{2a+b}} +\frac{b}{\sqrt{2b+c}} +\frac{c}{\sqrt{2c+a}} \leq \sqrt{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 04-04-2017 - 20:17

[iloveyouproht]

cho $a,b,c>0$ .CMR:

$ \frac{a}{\sqrt{2a+b}} +\frac{b}{\sqrt{2b+c}} +\frac{c}{\sqrt{2c+a}} \leq \sqrt{a+b+c}$

Ta có : P=$\frac{a}{\sqrt{2a+b}}\leq \sqrt{(\sum a)(\sum \frac{a}{2a+b})}=\sqrt{(\sum a)\frac{1}{2}(3-\sum \frac{b}{2a+b})}= \sqrt{(\sum a)\frac{1}{2}(3-\sum \frac{b^{2}}{2ab+b^{2}})}\leq \sqrt{(\sum a)\frac{1}{2}(3-\frac{(\sum a)^{2}}{(\sum a)^{2}})}=\sqrt{\sum a}$(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 04-04-2017 - 20:38

[tuaneee111]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

\[\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{\sqrt {2a + b} }}} } \right) = \left( {\sum\limits_{cyc} {\sqrt {a\left( {a + b + c} \right)}  \cdot \sqrt {\frac{a}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {2a + b} \right)}}} } } \right) \le \sqrt {{{\left( {a + b + c} \right)}^2} \cdot \left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {2a + b} \right)}}} } \right)} \]

Khi đó cần chứng minh: 

\[\sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{2a + b}}}  \le 1 \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {a{b^2}}  \ge 3abc\]

Bất đẳng thức cuối đúng theo AM-GM nên ta có đpcm

 

[gagaga]

c giúp mình làm mak k dùng kí hiệu hoán vị đk k?

[adteams]

c giúp mình làm mak k dùng kí hiệu hoán vị đk k?

Tập làm quen đi bạn :V