Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{1}{3-ab} \leq \frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Haht

Haht

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:LOL + Hát

Đã gửi 04-04-2017 - 21:31

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+ b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{1}{3-ab} \leq \frac{3}{2}$



#2 Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{black}{\text{12 Math}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Vo Nguyen Giap}} \bigstar$ $\color{black}{\text{Gifted High School}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Quang Binh}} \bigstar$
  • Sở thích:$\color{black}{\text{}}$

Đã gửi 04-04-2017 - 22:50

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+ b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{1}{3-ab} \leq \frac{3}{2}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$\sum \left( \dfrac{1}{3-ab} - \dfrac{1}{3} \right) \leq \dfrac{1}{2}$$ 

$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{ab}{3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab\right)} \leq \dfrac{1}{2}$$

Ta có hai bất đẳng thức quen thuộc sau:
$$2ab \leq a^{2}+b^{2}$$

$$4ab \leq (a+b)^{2}$$

Do đó,

$$\sum \dfrac{ab}{3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab\right)} \leq \sum \dfrac{(a+b)^{2}}{6(a^{2}+c^{2}+b^{2}+c^{2})}$$

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
$$\sum \dfrac{(a+b)^{2}}{6(a^{2}+c^{2}+b^{2}+c^{2})} \leq \dfrac{1}{6}\sum \left( \dfrac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}} + \dfrac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}} \right)= \dfrac{1}{2}$$

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$. $\blacksquare$



#3 NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 346 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{K50}}\sim \boxed{\text{CSP}}$

Đã gửi 04-04-2017 - 23:13

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+ b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{1}{3-ab} \leq \frac{3}{2}$

Ta có:

$\sum \frac{1}{3-ab}\leq \frac{3}{2}$

 

 

$\Leftrightarrow \frac{(3-ab)(3-bc)+(3-bc)(3-ca)+(3-ca)(3-ab)}{(3-ab)(3-bc)(3-ca)}\leq \frac{3}{2}$

 

 

$\Leftrightarrow \frac{27-6(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)}{27-9(ab+bc+ca)+3abc(a+b+c)-(abc)^{2}}\leq \frac{3}{2}$

 

 

$\Leftrightarrow 27+7abc(a+b+c)-15(ab+bc+ca)-3(abc)^{2}\geq 0$ $(1)$

 

 

Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$

 

 

$(1)\Leftrightarrow 27+7pr-15q-3r^{2}\geq 0$

 

 

 

 

P/s:Mình nghĩ đến đây dùng $Schur$ là ra nhưng học yếu kém loại này nên mong các bác giải quyết nốt!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 04-04-2017 - 23:15

$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#4 ddang00

ddang00

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10T,THPT Chuyên Lam Sơn
  • Sở thích:%T&T%(Tiền và Toán)

Đã gửi 03-05-2017 - 20:00

$\sum$

Kí hiệu này là gì vậy anh?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ddang00: 03-05-2017 - 20:00

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: I Love $\sqrt{MF}$ :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#5 Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị
  • Sở thích:Gái và toán

Đã gửi 03-05-2017 - 20:05

Kí hiệu này là gì vậy anh?

Tổng sigma


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh