Chủ đề này có 5 trả lời

[Haht]

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+ b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{1}{3-ab} \leq \frac{3}{2}$

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+ b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{1}{3-ab} \leq \frac{3}{2}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$\sum \left( \dfrac{1}{3-ab} - \dfrac{1}{3} \right) \leq \dfrac{1}{2}$$ 

$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{ab}{3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab\right)} \leq \dfrac{1}{2}$$

Ta có hai bất đẳng thức quen thuộc sau:
$$2ab \leq a^{2}+b^{2}$$

$$4ab \leq (a+b)^{2}$$

Do đó,

$$\sum \dfrac{ab}{3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab\right)} \leq \sum \dfrac{(a+b)^{2}}{6(a^{2}+c^{2}+b^{2}+c^{2})}$$

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
$$\sum \dfrac{(a+b)^{2}}{6(a^{2}+c^{2}+b^{2}+c^{2})} \leq \dfrac{1}{6}\sum \left( \dfrac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}} + \dfrac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}} \right)= \dfrac{1}{2}$$

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$. $\blacksquare$

[NTMFlashNo1]

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+ b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{1}{3-ab} \leq \frac{3}{2}$

Ta có:

$\sum \frac{1}{3-ab}\leq \frac{3}{2}$

 

 

$\Leftrightarrow \frac{(3-ab)(3-bc)+(3-bc)(3-ca)+(3-ca)(3-ab)}{(3-ab)(3-bc)(3-ca)}\leq \frac{3}{2}$

 

 

$\Leftrightarrow \frac{27-6(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)}{27-9(ab+bc+ca)+3abc(a+b+c)-(abc)^{2}}\leq \frac{3}{2}$

 

 

$\Leftrightarrow 27+7abc(a+b+c)-15(ab+bc+ca)-3(abc)^{2}\geq 0$ $(1)$

 

 

Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$

 

 

$(1)\Leftrightarrow 27+7pr-15q-3r^{2}\geq 0$

 

 

 

 

P/s:Mình nghĩ đến đây dùng $Schur$ là ra nhưng học yếu kém loại này nên mong các bác giải quyết nốt!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 04-04-2017 - 23:15

[ddang00]

$\sum$

Kí hiệu này là gì vậy anh?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ddang00: 03-05-2017 - 20:00

[Hoang Dinh Nhat]

Kí hiệu này là gì vậy anh?

Tổng sigma

[KietLW9]

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+ b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{1}{3-ab} \leq \frac{3}{2}$

Bài này có thể giải bằng cách sử dụng phương pháp "Yếu tố ít nhất" trong Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, phương pháp này có vẻ khác xa lạ với các bạn học sinh THCS, cuối câu trả lời mình sẽ đưa File PDF về chuyên đề này

Lời giải.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $(\frac{2}{3}-\frac{1}{3-ab})+(\frac{2}{3}-\frac{1}{3-bc})+(\frac{2}{3}-\frac{1}{3-ca})\geqslant \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{3-2ab}{3-ab}+\frac{3-2bc}{3-bc}+\frac{3-2ca}{3-ca}\geqslant \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+c^2}{3-ab}+\frac{(b-c)^2+a^2}{3-bc}+\frac{(c-a)^2+b^2}{3-ca}\geqslant \frac{3}{2}$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: $\frac{(a-b)^2+c^2}{3-ab}+\frac{(b-c)^2+a^2}{3-bc}+\frac{(c-a)^2+b^2}{3-ca}=\left [ \frac{(a-b)^2}{3-ab}+\frac{(b-c)^2}{3-bc}+\frac{(a-c)^2}{3-ca} \right ]+\left [ \frac{a^2}{3-bc}+\frac{b^2}{3-ca}+\frac{c^2}{3-ab} \right ]\geqslant \frac{4(a-c)^2}{9-ab-bc-ca}+\frac{(a+b+c)^2}{9-ab-bc-ca}$

Ta cần chứng minh: $\frac{4(a-c)^2}{9-ab-bc-ca}+\frac{(a+b+c)^2}{9-ab-bc-ca}\geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow 2(a+b+c)^2+8(a-c)^2\geqslant 3(9-ab-bc-ca)$

$\Leftrightarrow \left [ 2(a+b+c)^2-9(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca) \right ]+8(a-c)^2\geqslant 0$

$\Leftrightarrow -7\left [ (a-c)^2+(b-c)(b-a) \right ]+8(a-c)^2\geqslant 0$

$\Leftrightarrow (a-c)^2+7(a-b)(b-c)\geqslant 0$

Như vậy ta cần chỉ ra rằng: $(a-b)(b-c)\geqslant 0$

Tương tự đối với $a-b$ và $b-c$ thì ta cũng lần lượt đưa bài toán về chứng minh 

$(b-c)(c-a)\geqslant 0$

$(c-a)(a-b)\geqslant 0$

Như vậy nếu trong ba bất đẳng thức trên có 1 bất đẳng thức đúng thì ta có điều phải chứng minh

Ta thấy rằng: $\left [ (a-b)(b-c) \right ]\left [ (b-c)(c-a) \right ]\left [ (c-a)(a-b) \right ]=(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\geqslant 0$

Như vậy trong 3 bất đẳng thức trên có ít nhất một bất đẳng thức không âm, vì nếu cả ba đều âm thì tích sẽ âm (vô lí)

Bài toán được giải quyết 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

File phương pháp:   yeu-to-it-nhat-Can.pdf   252.85K   40 Số lần tải