Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+ b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{1}{3-ab} \leq \frac{3}{2}$
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+ b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{1}{3-ab} \leq \frac{3}{2}$
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+ b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{1}{3-ab} \leq \frac{3}{2}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$\sum \left( \dfrac{1}{3-ab} - \dfrac{1}{3} \right) \leq \dfrac{1}{2}$$
$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{ab}{3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab\right)} \leq \dfrac{1}{2}$$
Ta có hai bất đẳng thức quen thuộc sau:
$$2ab \leq a^{2}+b^{2}$$
$$4ab \leq (a+b)^{2}$$
Do đó,
$$\sum \dfrac{ab}{3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab\right)} \leq \sum \dfrac{(a+b)^{2}}{6(a^{2}+c^{2}+b^{2}+c^{2})}$$
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
$$\sum \dfrac{(a+b)^{2}}{6(a^{2}+c^{2}+b^{2}+c^{2})} \leq \dfrac{1}{6}\sum \left( \dfrac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}} + \dfrac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}} \right)= \dfrac{1}{2}$$
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$. $\blacksquare$
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+ b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{1}{3-ab} \leq \frac{3}{2}$
Ta có:
$\sum \frac{1}{3-ab}\leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{(3-ab)(3-bc)+(3-bc)(3-ca)+(3-ca)(3-ab)}{(3-ab)(3-bc)(3-ca)}\leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{27-6(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)}{27-9(ab+bc+ca)+3abc(a+b+c)-(abc)^{2}}\leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 27+7abc(a+b+c)-15(ab+bc+ca)-3(abc)^{2}\geq 0$ $(1)$
Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$
$(1)\Leftrightarrow 27+7pr-15q-3r^{2}\geq 0$
P/s:Mình nghĩ đến đây dùng $Schur$ là ra nhưng học yếu kém loại này nên mong các bác giải quyết nốt!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 04-04-2017 - 23:15
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
$\sum$
Kí hiệu này là gì vậy anh?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ddang00: 03-05-2017 - 20:00
I Love $\sqrt{MF}$
Kí hiệu này là gì vậy anh?
Tổng sigma
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+ b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{1}{3-ab} \leq \frac{3}{2}$
Bài này có thể giải bằng cách sử dụng phương pháp "Yếu tố ít nhất" trong Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, phương pháp này có vẻ khác xa lạ với các bạn học sinh THCS, cuối câu trả lời mình sẽ đưa File PDF về chuyên đề này
Lời giải.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $(\frac{2}{3}-\frac{1}{3-ab})+(\frac{2}{3}-\frac{1}{3-bc})+(\frac{2}{3}-\frac{1}{3-ca})\geqslant \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{3-2ab}{3-ab}+\frac{3-2bc}{3-bc}+\frac{3-2ca}{3-ca}\geqslant \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+c^2}{3-ab}+\frac{(b-c)^2+a^2}{3-bc}+\frac{(c-a)^2+b^2}{3-ca}\geqslant \frac{3}{2}$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: $\frac{(a-b)^2+c^2}{3-ab}+\frac{(b-c)^2+a^2}{3-bc}+\frac{(c-a)^2+b^2}{3-ca}=\left [ \frac{(a-b)^2}{3-ab}+\frac{(b-c)^2}{3-bc}+\frac{(a-c)^2}{3-ca} \right ]+\left [ \frac{a^2}{3-bc}+\frac{b^2}{3-ca}+\frac{c^2}{3-ab} \right ]\geqslant \frac{4(a-c)^2}{9-ab-bc-ca}+\frac{(a+b+c)^2}{9-ab-bc-ca}$
Ta cần chứng minh: $\frac{4(a-c)^2}{9-ab-bc-ca}+\frac{(a+b+c)^2}{9-ab-bc-ca}\geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow 2(a+b+c)^2+8(a-c)^2\geqslant 3(9-ab-bc-ca)$
$\Leftrightarrow \left [ 2(a+b+c)^2-9(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca) \right ]+8(a-c)^2\geqslant 0$
$\Leftrightarrow -7\left [ (a-c)^2+(b-c)(b-a) \right ]+8(a-c)^2\geqslant 0$
$\Leftrightarrow (a-c)^2+7(a-b)(b-c)\geqslant 0$
Như vậy ta cần chỉ ra rằng: $(a-b)(b-c)\geqslant 0$
Tương tự đối với $a-b$ và $b-c$ thì ta cũng lần lượt đưa bài toán về chứng minh
$(b-c)(c-a)\geqslant 0$
$(c-a)(a-b)\geqslant 0$
Như vậy nếu trong ba bất đẳng thức trên có 1 bất đẳng thức đúng thì ta có điều phải chứng minh
Ta thấy rằng: $\left [ (a-b)(b-c) \right ]\left [ (b-c)(c-a) \right ]\left [ (c-a)(a-b) \right ]=(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\geqslant 0$
Như vậy trong 3 bất đẳng thức trên có ít nhất một bất đẳng thức không âm, vì nếu cả ba đều âm thì tích sẽ âm (vô lí)
Bài toán được giải quyết
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
File phương pháp: yeu-to-it-nhat-Can.pdf 252.85K 40 Số lần tải
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh