Chủ đề này có 1 trả lời

[dangkhuong]

Bài toán(Aops): Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$, phân giác ngoài $\angle A$ cắt $BC$ ở $D$. Gọi $(ADM)\cap AB,AC=E,F\neq A$. $N$ là trung điểm $EF$. Chứng minh rằng: $MN\| AD$.

[quantv2006]

Bài toán(Aops): Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$, phân giác ngoài $\angle A$ cắt $BC$ ở $D$. Gọi $(ADM)\cap AB,AC=E,F\neq A$. $N$ là trung điểm $EF$. Chứng minh rằng: $MN\| AD$.

 

 

Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi P là điểm chính giữa cung BC không chứa A, PA vuông góc với DA tại A. Q là điểm chính giữa cung BC chứa A. Ta có D, A, Q thẳng hàng, P, M, O, Q thẳng hàng.

 

Dễ thấy (ADM) đi qua P và DP là đường kính của đường tròn (ADM). Tam giác PEF cân tại P từ đó có DP là trung trực của EF nên DP đi qua N và DP vuông góc với EF tại N.

 

Tam giác PED và PCQ đồng dạng, EN và CM là đường cao nên $\Rightarrow \frac{PN}{PD}=\frac{PM}{PQ}\Rightarrow MN//DQ\Rightarrow MN//AD$ (đpcm).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantv2006: 05-04-2017 - 15:30