Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $AH$ là đường cao kẻ từ $A$, $D$ là trung điểm của $AC$, $OB$ cắt $HD$ tại $L$. $OD$ cắt $BC$ tại $K$. $AL$ cắt $(O)$ tại $M$ và $OA$ cắt $(O)$ tại $N$. Chứng minh $HM,KN$ cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn $(O)$.
Chứng minh $HM,KN$ cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn $(O)$
#1
Đã gửi 05-04-2017 - 20:30
#2
Đã gửi 06-04-2017 - 07:06
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $AH$ là đường cao kẻ từ $A$, $D$ là trung điểm của $AC$, $OB$ cắt $HD$ tại $L$. $OD$ cắt $BC$ tại $K$. $AL$ cắt $(O)$ tại $M$ và $OA$ cắt $(O)$ tại $N$. Chứng minh $HM,KN$ cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn $(O)$.
Do $\angle DHA=\angle DAH=\angle OAB=\angle OBA\Rightarrow$ tứ giác ABHL là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle ALB=\angle AHB=90^0$.
Vậy OL vuông góc với dây AM tại L hay L là trung điểm của AM.
Xét hai tam giác AOK và ALH có $\angle AKO=\angle AKD=\angle AHD=\angle AHL$. $\angle AOK=\angle ALH$ (cùng bù với góc AOD). Vậy tam giác AOK và ALH đồng dạng.
Do O là trung điểm của AN, L là trung điểm của AM nên tam giác ANK và tam giác AMH đồng dạng $\Rightarrow \angle ANK=\angle AMH$
Gọi T là giao điểm của KN và MH. Do $\angle ANK=\angle AMH\Rightarrow$ tứ giác AMTN nội tiếp hay T nằm trên (O) (ĐPCM).
- manhhung2013 và nguyentinh thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hìnhhọc
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh $\Delta TDG$ cân.Bắt đầu bởi Cis, 07-01-2017 hìnhhọc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh $DO\perp XY$Bắt đầu bởi Cis, 06-01-2017 hìnhhọc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh tam giác $I_{a}MN$ cân.Bắt đầu bởi Cis, 06-01-2017 hìnhhọc, đườngtrònbàngtiếp |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh