Chủ đề này có 2 trả lời

[huyqhx9]

cho a+b+c=1.a,b,c dương:

tìm maxP= $\sum \frac{4}{a+b}-\sum \frac{1}{a}$

[NHoang1608]

cho a+b+c=1.a,b,c dương:

tìm maxP= $\sum \frac{4}{a+b}-\sum \frac{1}{a}$

Từ gt $a+b+c=1$ thì ta có:

$P= \frac{4(a+b+c)}{a+b}+\frac{4(a+b+c)}{b+c}+\frac{4(a+b+c}{c+a}- (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

$ = 12 +\frac{4c}{a+b}+\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{a+c} - 3 - \frac{b+c}{a} - \frac{c+a}{b} - \frac{a+b}{c}$  $(1)$

Mặt khác áp dụng bđt quen thuộc $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ thì ta có: $\frac{4c}{a+b} \leq \frac{c}{a}+\frac{c}{b}$ $(2)$

Hoàn toàn tương tự thì ta có: $\frac{4a}{b+c} \leq \frac{a}{c}+\frac{a}{b}$  $(3)$ và $\frac{4b}{c+a} \leq \frac{b}{c}+\frac{b}{a}$  $(4)$

Cộng $(2)(3)(4)$ vế theo vế ta được $\frac{4c}{a+b}+\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}  \leq \frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b} =  \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c}$  $(5)$

Từ $(1)(5)$ suy ra $P \leq 12+ \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c}-3 - \frac{b+c}{a} - \frac{c+a}{b} - \frac{a+b}{c} =9 $

$\Rightarrow MaxP =9 $ .Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

[yeutoan2001]

cho a+b+c=1.a,b,c dương:

tìm maxP= $\sum \frac{4}{a+b}-\sum \frac{1}{a}$

 

Nhân 1=a+b+c vào Ta cần Chứng minh Bất đẳng thức sau:

    $\sum \frac{4(a+b+c)}{a+b}-\sum \frac{a+b+c}{a}\leq 9$

Điều này tương đương với

   $\sum \frac{b+c}{a}\geq \sum \frac{4a}{b+c}$

 ĐIều này đúng vì ta có bất đẳng thức sau và tương tự 

       $\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq \frac{4c}{a+b}$