Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi $Olympic$ $30/4$ lớp $11$ năm $2017$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 344 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{K50}}\sim \boxed{\text{CSP}}$

Đã gửi 08-04-2017 - 22:30

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4

NĂM:2017-2018

LỚP:11

 

 

Bài 1. Giải hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix}\frac{3}{\sqrt{y}}-\frac{1}{x}=\frac{5x+\sqrt{y}}{2{{x}^{2}}+y} \\ \frac{1}{xy}+\frac{4}{\sqrt{y}}=\frac{2}{y}+\frac{8}{3} \\ \end{matrix}\right.$
 
Bài 2. Tính giới hạn của tổng sau khi $n \to + \infty$
\[{{u}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{23{{k}^{2}}-33k+4}{C_{3k}^{k}}}. \] 
 
Bài 3. Tứ giác $ABCD$ có $AB=BC=CD$ và $P$ là giao điểm của $AC,BD$ thỏa mãn $AP\cdot AC=DP\cdot DB$.
Gọi $O$ là tâm của $(PBC)$ sao cho tam giác $OAB,ODC$ cùng hướng dương. 
a) Chứng minh rằng $OA=OD.$ 
b) Chứng minh rằng $AB \perp CD.$ 
 
Bài 4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ liên tục và thỏa mãn
\[f\left( x+f(y) \right)=2y+f(x) \text{ với mọi } x,y\in \mathbb{R}.\]
 
Bài 5. Tìm tất cả các số tự nhiên $n \ge 2$ để với với mọi số tự nhiên $k$ nhỏ hơn $n$ thì tồn tại $x$ nguyên dương để $S(xn)$ chia $n$ dư $k$, trong đó ký hiệu $S(x)$ là tổng các chữ số của $x$.
 
Bài 6. Người ta tô màu một đa giác đều $A_1A_2…A_{38}$ mà trong đó có $19$ đỉnh được tô màu đen, $19$ đỉnh được tô màu xanh. Xét tập hợp $S$ gồm đường chéo $A_1A_4$ và các đường chéo có cùng độ dài với nó. Chứng minh rằng trong $S$, số đường chéo có hai đỉnh được tô đen bằng với số đường chéo có hai đỉnh được tô xanh.
 

Nguồn: Nguyễn Trường Hải, THPT Chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 09-04-2017 - 07:27

$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#2 takeruoo

takeruoo

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 09-04-2017 - 07:57

 

Hình gửi kèm

  • Ảnh chụp Màn hình 2017-04-09 lúc 07.49.37.png


#3 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 09-04-2017 - 12:56

Bài 6 : Xét tất cả các đường chéo có độ dài trên sẽ lập thành chu kì như sau : $A_1 \rightarrow A_4 \rightarrow A_7 \rightarrow A_{10} \rightarrow...... \rightarrow A_1$, chu kì có độ dài $38$.

Chu kì trên đi qua tất cả các đỉnh đúng 1 lần và chứa tất cả đường chéo cùng độ dài với $A_1A_4$ . Ta cần chứng minh số cạnh đen và số cạnh xanh trong chu kì trên là bằng nhau

Xét trong chu kì trên, ta gọi một đoạn là đoạn đen nếu tất cả các đỉnh trong đoạn đó màu đen, tương tự với đoạn xanh

Thật vậy, nếu đoạn đó chứa $n$ điểm thì sẽ có $n-1$ cạnh. Mà số đoạn đen bằng số đoạn xanh ( hiển nhiên ) , giả sử bằng $k$, khi đó số cạnh đen $=$ số cạnh xanh $= 19-k$. Ta có điều cần chứng minh



#4 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 09-04-2017 - 13:04

Bài 4 : $f(x+f(y)) = 2y+f(x) \implies f$ song ánh nên tồn tại $a$ để $f(a) = 0$

$P(x,a) \implies a = 0$

$P(0,y) : f(f(y)) = 2y \implies f(x+f(y)) = f(x)+f((y))$. Do $f$ là song ánh nên thay $f(y)$ bở $y$ nên $f(x+y) = f(x)+f(y)$

Mà $f$ liên tục nên $f(x) = ax$. Thay vào có $a = \sqrt{2}$ hoặc $a = -\sqrt{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 09-04-2017 - 13:04


#5 bigway1906

bigway1906

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 200 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Biên

Đã gửi 09-04-2017 - 13:11

 

Bài 1. Giải hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix}\frac{3}{\sqrt{y}}-\frac{1}{x}=\frac{5x+\sqrt{y}}{2{{x}^{2}}+y} \\ \frac{1}{xy}+\frac{4}{\sqrt{y}}=\frac{2}{y}+\frac{8}{3} \\ \end{matrix}\right.$
 

xin phép làm câu hệ:

Đặt $\sqrt{y}=a$, rồi quy đồng, ta được pt:

$6x^{3}-7ax^{2}+2a^{2}x-a^{3}=0$

đến đây rút ra được a =x $\rightarrow y=x^{2}$

thay vào pt (2), giải được $x=\frac{\sqrt[3]{2}+1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bigway1906: 09-04-2017 - 13:13


#6 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 09-04-2017 - 17:17

Bài 5 :  Áp dụng bổ đề quen thuộc sau : $S(n(10^k-1)) = 9k$ với mọi $n <10^k-1$

Thật vậy, ta có nếu $ 3|n$ thì $S(xn) \equiv xn \equiv 0 $ (mod $3$) nên $S(xn)$ không thể nhận mọi số dư modulo $n$

Nếu $(n,3) = 1$ ; Ta chọn $x = 10^t -1$ với $t > log_{10}(n+1)$ và $9t \equiv k$ (mod $n$). Khi đó $S(n(10^t-1)) = 9t \equiv k $ (mod $n$)

Vậy đáp số là tất cả những số không chia hết cho $3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 09-04-2017 - 17:22





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh