5 replies to this topic

[NTMFlashNo1]

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4

NĂM:2017-2018

LỚP:11

 

 

Bài 1. Giải hệ phương trình sau

$\left\{\begin{matrix}\frac{3}{\sqrt{y}}-\frac{1}{x}=\frac{5x+\sqrt{y}}{2{{x}^{2}}+y} \\ \frac{1}{xy}+\frac{4}{\sqrt{y}}=\frac{2}{y}+\frac{8}{3} \\ \end{matrix}\right.$

 

Bài 2. Tính giới hạn của tổng sau khi $n \to + \infty$

\[{{u}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{23{{k}^{2}}-33k+4}{C_{3k}^{k}}}. \] 

 

Bài 3. Tứ giác $ABCD$ có $AB=BC=CD$ và $P$ là giao điểm của $AC,BD$ thỏa mãn $AP\cdot AC=DP\cdot DB$.

Gọi $O$ là tâm của $(PBC)$ sao cho tam giác $OAB,ODC$ cùng hướng dương. 

a) Chứng minh rằng $OA=OD.$ 

b) Chứng minh rằng $AB \perp CD.$ 

 

Bài 4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ liên tục và thỏa mãn

\[f\left( x+f(y) \right)=2y+f(x) \text{ với mọi } x,y\in \mathbb{R}.\]

 

Bài 5. Tìm tất cả các số tự nhiên $n \ge 2$ để với với mọi số tự nhiên $k$ nhỏ hơn $n$ thì tồn tại $x$ nguyên dương để $S(xn)$ chia $n$ dư $k$, trong đó ký hiệu $S(x)$ là tổng các chữ số của $x$.

 

Bài 6. Người ta tô màu một đa giác đều $A_1A_2…A_{38}$ mà trong đó có $19$ đỉnh được tô màu đen, $19$ đỉnh được tô màu xanh. Xét tập hợp $S$ gồm đường chéo $A_1A_4$ và các đường chéo có cùng độ dài với nó. Chứng minh rằng trong $S$, số đường chéo có hai đỉnh được tô đen bằng với số đường chéo có hai đỉnh được tô xanh.

 

Nguồn: Nguyễn Trường Hải, THPT Chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận.

Edited by Baoriven, 09-04-2017 - 07:27.

[takeruoo]

 

Attached Images

• 

[manhtuan00]

Bài 6 : Xét tất cả các đường chéo có độ dài trên sẽ lập thành chu kì như sau : $A_1 \rightarrow A_4 \rightarrow A_7 \rightarrow A_{10} \rightarrow...... \rightarrow A_1$, chu kì có độ dài $38$.

Chu kì trên đi qua tất cả các đỉnh đúng 1 lần và chứa tất cả đường chéo cùng độ dài với $A_1A_4$ . Ta cần chứng minh số cạnh đen và số cạnh xanh trong chu kì trên là bằng nhau

Xét trong chu kì trên, ta gọi một đoạn là đoạn đen nếu tất cả các đỉnh trong đoạn đó màu đen, tương tự với đoạn xanh

Thật vậy, nếu đoạn đó chứa $n$ điểm thì sẽ có $n-1$ cạnh. Mà số đoạn đen bằng số đoạn xanh ( hiển nhiên ) , giả sử bằng $k$, khi đó số cạnh đen $=$ số cạnh xanh $= 19-k$. Ta có điều cần chứng minh

[manhtuan00]

Bài 4 : $f(x+f(y)) = 2y+f(x) \implies f$ song ánh nên tồn tại $a$ để $f(a) = 0$

$P(x,a) \implies a = 0$

$P(0,y) : f(f(y)) = 2y \implies f(x+f(y)) = f(x)+f((y))$. Do $f$ là song ánh nên thay $f(y)$ bở $y$ nên $f(x+y) = f(x)+f(y)$

Mà $f$ liên tục nên $f(x) = ax$. Thay vào có $a = \sqrt{2}$ hoặc $a = -\sqrt{2}$

Edited by manhtuan00, 09-04-2017 - 13:04.

[bigway1906]

 

Bài 1. Giải hệ phương trình sau

$\left\{\begin{matrix}\frac{3}{\sqrt{y}}-\frac{1}{x}=\frac{5x+\sqrt{y}}{2{{x}^{2}}+y} \\ \frac{1}{xy}+\frac{4}{\sqrt{y}}=\frac{2}{y}+\frac{8}{3} \\ \end{matrix}\right.$

 

xin phép làm câu hệ:

Đặt $\sqrt{y}=a$, rồi quy đồng, ta được pt:

$6x^{3}-7ax^{2}+2a^{2}x-a^{3}=0$

đến đây rút ra được a =x $\rightarrow y=x^{2}$

thay vào pt (2), giải được $x=\frac{\sqrt[3]{2}+1}{2}$

Edited by bigway1906, 09-04-2017 - 13:13.

[manhtuan00]

Bài 5 :  Áp dụng bổ đề quen thuộc sau : $S(n(10^k-1)) = 9k$ với mọi $n <10^k-1$

Thật vậy, ta có nếu $ 3|n$ thì $S(xn) \equiv xn \equiv 0 $ (mod $3$) nên $S(xn)$ không thể nhận mọi số dư modulo $n$

Nếu $(n,3) = 1$ ; Ta chọn $x = 10^t -1$ với $t > log_{10}(n+1)$ và $9t \equiv k$ (mod $n$). Khi đó $S(n(10^t-1)) = 9t \equiv k $ (mod $n$)

Vậy đáp số là tất cả những số không chia hết cho $3$

Edited by manhtuan00, 09-04-2017 - 17:22.