ĐỀ THI OLYMPIC 30/4
NĂM:2017-2018
LỚP:11
Nguồn: Nguyễn Trường Hải, THPT Chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 09-04-2017 - 07:27
ĐỀ THI OLYMPIC 30/4
NĂM:2017-2018
LỚP:11
Nguồn: Nguyễn Trường Hải, THPT Chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 09-04-2017 - 07:27
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
Bài 6 : Xét tất cả các đường chéo có độ dài trên sẽ lập thành chu kì như sau : $A_1 \rightarrow A_4 \rightarrow A_7 \rightarrow A_{10} \rightarrow...... \rightarrow A_1$, chu kì có độ dài $38$.
Chu kì trên đi qua tất cả các đỉnh đúng 1 lần và chứa tất cả đường chéo cùng độ dài với $A_1A_4$ . Ta cần chứng minh số cạnh đen và số cạnh xanh trong chu kì trên là bằng nhau
Xét trong chu kì trên, ta gọi một đoạn là đoạn đen nếu tất cả các đỉnh trong đoạn đó màu đen, tương tự với đoạn xanh
Thật vậy, nếu đoạn đó chứa $n$ điểm thì sẽ có $n-1$ cạnh. Mà số đoạn đen bằng số đoạn xanh ( hiển nhiên ) , giả sử bằng $k$, khi đó số cạnh đen $=$ số cạnh xanh $= 19-k$. Ta có điều cần chứng minh
Bài 4 : $f(x+f(y)) = 2y+f(x) \implies f$ song ánh nên tồn tại $a$ để $f(a) = 0$
$P(x,a) \implies a = 0$
$P(0,y) : f(f(y)) = 2y \implies f(x+f(y)) = f(x)+f((y))$. Do $f$ là song ánh nên thay $f(y)$ bở $y$ nên $f(x+y) = f(x)+f(y)$
Mà $f$ liên tục nên $f(x) = ax$. Thay vào có $a = \sqrt{2}$ hoặc $a = -\sqrt{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 09-04-2017 - 13:04
Bài 1. Giải hệ phương trình sau$\left\{\begin{matrix}\frac{3}{\sqrt{y}}-\frac{1}{x}=\frac{5x+\sqrt{y}}{2{{x}^{2}}+y} \\ \frac{1}{xy}+\frac{4}{\sqrt{y}}=\frac{2}{y}+\frac{8}{3} \\ \end{matrix}\right.$
xin phép làm câu hệ:
Đặt $\sqrt{y}=a$, rồi quy đồng, ta được pt:
$6x^{3}-7ax^{2}+2a^{2}x-a^{3}=0$
đến đây rút ra được a =x $\rightarrow y=x^{2}$
thay vào pt (2), giải được $x=\frac{\sqrt[3]{2}+1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bigway1906: 09-04-2017 - 13:13
Bài 5 : Áp dụng bổ đề quen thuộc sau : $S(n(10^k-1)) = 9k$ với mọi $n <10^k-1$
Thật vậy, ta có nếu $ 3|n$ thì $S(xn) \equiv xn \equiv 0 $ (mod $3$) nên $S(xn)$ không thể nhận mọi số dư modulo $n$
Nếu $(n,3) = 1$ ; Ta chọn $x = 10^t -1$ với $t > log_{10}(n+1)$ và $9t \equiv k$ (mod $n$). Khi đó $S(n(10^t-1)) = 9t \equiv k $ (mod $n$)
Vậy đáp số là tất cả những số không chia hết cho $3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 09-04-2017 - 17:22
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh