Chủ đề này có 5 trả lời

[Katyusha]

Cho hàm số $y=x(x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)$. Hỏi đồ thị hàm số $y=f'(x)$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt.

 

Đáp án trắc nghiệm là 6 nhưng làm thế nào để tìm được con số này vậy. Mình nghĩ do đồ thị hàm $f(x)$ có 7 giao điểm thì đồ thị hàm $f'(x)$ giảm 1 còn 6 nhưng không biết lập luận chính xác thế nào. 

[Baoriven]

Do $f(x)$ có tối đa là $7$ nghiệm, nên $f'(x)$ có $6$ nghiệm.

Nên $f'(x)$ cắt trục hoành tại $6$ điểm phân biệt.

[Katyusha]

Do $f(x)$ có tối đa là $7$ nghiệm, nên $f'(x)$ có $6$ nghiệm.

Nên $f'(x)$ cắt trục hoành tại $6$ điểm phân biệt.

Mình đang lúng túng chỗ lập luận sao cho chặt chẽ việc f'(x) có 6 nghiệm khi f(x) có 7 nghiệm

[Baoriven]

Mình thấy lấy đạo hàm cũng không khó.

Có thể bắt cặp $f(x)=(x^3-9x)(x^4-5x^2+4)$.

Ta có: $f'(x)=(3x^2-9)(x^4-5x^2+4)+(x^3-9x)(4x^3-10x)=7x^6-70x^4+147x^2-36.$

Tới đây nhờ sử dụng máy tính có thể thấy $f'(x)=0$ có $6$ nghiệm phân biệt.

[chanhquocnghiem]

Cho hàm số $y=x(x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)$. Hỏi đồ thị hàm số $y=f'(x)$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt.

 

Đáp án trắc nghiệm là 6 nhưng làm thế nào để tìm được con số này vậy. Mình nghĩ do đồ thị hàm $f(x)$ có 7 giao điểm thì đồ thị hàm $f'(x)$ giảm 1 còn 6 nhưng không biết lập luận chính xác thế nào. 

 

Do $f(x)$ có tối đa là $7$ nghiệm, nên $f'(x)$ có $6$ nghiệm.

Nên $f'(x)$ cắt trục hoành tại $6$ điểm phân biệt.

Bạn Baoriven lập luận như vậy chưa đúng.Có thể có trường hợp $f(x)$ có đúng $n$ nghiệm phân biệt nhưng $f'(x)$ lại có đến n+1 nghiệm phân biệt.Chẳng hạn $f(x)=x^4-x^2-2$ có đúng $2$ nghiệm nhưng $f'(x)=4x^3-2x$ lại có đến $3$ nghiệm phân biệt.

 

Bài này phải lập luận thế này mới chặt chẽ :

Ta thấy $f(x)$ là hàm đa thức bậc 7 nên $f'(x)$ là hàm bậc 6 có KHÔNG QUÁ $6$ NGHIỆM (1)

Mặt khác, dễ thấy $f(x)$ có $7$ nghiệm phân biệt (tổng quát là $x_1< x_2< ...< x_7$) nên đồ thị của $f(x)$ cắt trục $Ox$ tại $7$ điểm phân biệt (không có điểm tiếp xúc)

Trên mỗi khoảng giữa 2 nghiệm liên tiếp (ví dụ $(x_1;x_2)$ hoặc $(x_2;x_3)$) đồ thị có ít nhất 1 lần "đi lên" và 1 lần "đi xuống", tức là trong mỗi khoảng $f'(x)$ có lúc dương, có lúc âm, và do hàm đa thức là liên tục nên có ít nhất $1$ lần $f'(x)$ bằng $0$ và đổi dấu.Cũng có nghĩa là trong mỗi khoảng giữa 2 nghiệm liên tiếp của $f(x)$ (ví dụ $(x_1;x_2)$) thì đồ thị hàm $f'(x)$ cắt trục hoành ít nhất $1$ điểm.Có tất cả $6$ khoảng như vậy $\Rightarrow$ đồ thị hàm $f'(x)$ cắt trục $Ox$ ÍT NHẤT $6$ ĐIỂM (2)

Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm $f'(x)$ cắt trục $Ox$ tại ĐÚNG $6$ ĐIỂM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 09-04-2017 - 17:57

[thoai6cthcstqp]

Áp dụng định lý Lagrange ta có: tồn tại c thoả mãn -1<c<0 và $[0-(-1)]f'(c)=f(0)-f(-1)$ nên f'(x) có nghiệm trên (-1;0).

Chứng minh tương tự cho các khoảng còn lại, ta sẽ nhận thấy pt f'(x)=0 có ít nhất 6 nghiệm.
Mặt khác f'(x) có bậc 6 nên có tối đa 6 nghiệm. Như vậy dễ dàng có được đpcm.