Chủ đề này có 5 trả lời

[sharker]

Cho a,b,c là số thực không âm, thỏa mãn $a+b>0$, $b+c>0$,$c+a>0$

CMR: $\sqrt {\frac{a}{{b + c}}}  + \sqrt {\frac{b}{{a + c}}}  + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}}  + \frac{{9\sqrt {ab + bc + ac} }}{{a + b + c}} \ge 6$

[trambau]

Cho a,b,c là số thực không âm, thỏa mãn $a+b>0$, $b+c>0$,$c+a>0$

CMR: $\sqrt {\frac{a}{{b + c}}}  + \sqrt {\frac{b}{{a + c}}}  + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}}  + \frac{{9\sqrt {ab + bc + ac} }}{{a + b + c}} \ge 6$

dùng $Holder$ có

$ \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq\sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{\sum a^2(b+c)}}$

mặt khác 

$\sum a^2(b+c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc\leq (a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq\frac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

từ đó dễ dàng cm đc $\frac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}}+\frac{9\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\geq 6$ => đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 27-05-2017 - 10:49

[sharker]

dũng chẻ châu 

dùng $Holder$ có

$ \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq\sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{\sum a^2(b+c)}}$

mặt khác 

$\sum a^2(b+c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc\leq (a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq\frac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

từ đó dễ dàng cm đc $\frac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}}+\frac{9\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\geq 6$ => đpcm

= khi nào :3 

[trambau]

= khi nào :3 

khi $a=\frac{7\pm 3\sqrt{5}}{2}, b,c=0$ cùng các hoán vị

[manhhung2013]

khi $a=\frac{7\pm 3\sqrt{5}}{2}, b,c=0$ cùng các hoán vị

Holder dùng ntn vậy bạn viết rõ ra được không?

[viet9a14124869]

Holder dùng ntn vậy bạn viết rõ ra được không?

Chị ấy dùng Holder như thế này

Nếu ta đặt $A=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

                   $B=a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$

Thì $A^2B\geq (a+b+c)^3\Rightarrow A \geq \sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{B}}=\sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}}$