Chủ đề này có 1 trả lời

[buibaoan]

Cho $\bigtriangleup$ABC nhọn AB < AC . Đường cao BD , CE của $\bigtriangleup$ABC cắt nhau ở H . DE cắt BC ở F , M là trung điểm của BC . CMR : FH vuông góc với AM

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buibaoan: 09-04-2017 - 23:29

[NTMFlashNo1]

Cho $\bigtriangleup$ABC nhọn AB < AC . Đường cao BD , CE của $\bigtriangleup$ABC cắt nhau ở H . DE cắt BC ở F , M là trung điểm của BC . CMR : FH vuông góc với AM

Gọi $(O_{1}),(O_{2})$ là đường tròn đường kính $AH,MH$

$\Rightarrow O_{1}O_{2}\parallel AM$

$AH\cap BC\equiv K$

Nên $(F,K,B,C)=-1$

$\Rightarrow FK.FM=FB.FC$ (theo hệ thức $Maclaurin$)

Dễ thấy $BCDE$ nội tiếp

$\Rightarrow FB.FC=FD.FE$

$\Rightarrow FK.FM=FD.FE$

$\Rightarrow \Im _{F/(O_{1})}=\Im _{F/(O_{2})}$ ($\Im _{F/(O_{1})}$ là phương tích của $F$ với $(O_{1})$)

Mà $\Im _{H/(O_{1})}=\Im _{H/(O_{2})}=0$

Do đó, $FH$ là trục đẳng phương của $(O_{1}),(O_{2})$

Do đó,$FH\bot O_{1}O_{2}$

$\Rightarrow Q.E.D$