Chán ghê ! Đang bế quan tu đạo cũng phải phảy vào!
Một số bạn có vẻ như chẳng biết toán học là một môn học biện chứng hay sao ấy?
Muốn chứng minh :"điều kiện cần :1+1=2" theo quy tắc toán học thì trước tiên ta phải phủ nhận tất cả những gì 1+1=2 đã tạo ra . Ấy thế nên mới khó 1+1=2 thường được xem như là viên gạch đầu tiên của toán học không có nó thì toán số học đã không diễn ra => các phân môn cao cấp hơn của toán học sẽ không xảy ra.
Vậy tóm tại muốn chứng minh 1+1 = 2 ta cần phải xây dựng 1 lý thuyết mới còn sơ cấp hơn 1+1=2 nữa .(không biết mình đã nói điều này chưa nhỉ ?) Vấn đề tạm dừng ở đây sẽ là ai cái gì sẽ thiết lập ra nó? Nó có đặc điểm như thế nào? Dùng nó như thế nào để C/m: 1+1 =2 . Và chấm dứt việc C/m : "1+1=2" .
Ai sẽ làm điều đó đây ???!
Các bạn nào đã quá quen với nhưng thứ cao siêu rồi thì theo tôi nghĩ rất khó để làm được điều đó!
Các bạn có ý kiến gì không ? Mình nói đúng chứ.
Theo mình nghĩ trong một lý thuyết thỏa các tiên đề peano thì « 1+1=2 » là một định lý , còn một lý thuyết có một hệ tiên đề rỗng ( bất kì ) thì đây chỉ là một mệnh đề và không thể chứng minh .
Mình sẽ chứng minh nôm na đó không phải là một định lý ( đúng trong mọi mô hình).
Mình sẽ dùng định nghĩa trong tiên đề peano về hàm số liền sau viết tắt là S(n)
_ Mọi số tự nhiên đều có một số liền sau và duy nhất .
_ Hai số có cùng một số liền sau thì bằng nhau : S(n)=S(m)
m=n
Định nghĩa đệ quy về phép cộng :
_Với mọi n , n+0 =n
_ n+ S(m)= S(n+m)
Chứng minh :
1+1=2 . Theo định nghĩa về phép cộng ta có mệnh đề tương đương S(1)=2 . Đây là một định nghĩa , định nghĩa là một dạng tiên đề đặc biệt gồm hai vế , một vế chứa kí hiệu mới muốn đứa vào lý thuyết ( kí hiệu mới chỉ xuất hiện một lần ) , vế thứ hai kí hiệu mới không xuất hiện . Ở đây là một định nghĩa của kí hiệu « 2 » ( nên phân biệt rõ kí hiệu 2 và số 2) . Một tiên đề định nghĩa thì không thể gây mâu thuẫn lý thuyết được . (mình không chứng minh điêu này ) .
VD :
Lý thuyết ban đầu A
(Số liền sau của 1) là số chẵn , (Số liền sau của 1) cộng 0 vẫn là chính nó . (Số liền sau của 1) là số nguyên tố .
Lý thuyết B = lý thuyết A
tiên đề: S(1)=2
2 là số chẵn , 2 cộng 0 vẫn là chính nó . 2 là số nguyên tố .
Bạn chỉ cần thay chuỗi (Số liền sau của 1) bằng 2 ta sẽ có lý thuyết B từ lý thuyết A . Rõ ràng nếu A đúng thì B cũng đúng
Như vậy từ một lý thuyết không mâu thuẫn về (số liền sau của 1) , ta thay chuỗi (số liền sau số 1) bằng kí hiệu 2 (2 phân biệt với kí hiệu có trước như S, 0 và 1) ta sẽ có định lý 1+1 =2
Bây giờ mình sẽ dùng phản ví dụ ( nói một cách lý thuyết là tìm thấy một mô hình của lý thuyết không mâu thuẫn không thỏa "1+1=2") .
Xét nhóm Z/2Z nôm na là phép cộng modulo 2 . 1 đại diện cho số lẻ , 0 đại diện cho số chẵn .
0 + 0 = 0
1+0 = 0+1=1
1+1=S(1)=0
Rõ ràng S(0)=1 và S(1)=0
Dĩ nhiên là còn nhiều phản ví dụ khác .
Vậy tồn tại mô hình mà « 1+1=2 » không thỏa và trong tập N thì « 1+1=2 » thỏa vậy đây là mệnh đề không chứng minh được với tập giả thiết rỗng hiển nhiên không là một định lý . (vd x
5 không không chứng minh được vì có những trường hợp đúng như 6
5 nhưng cũng có trường hợp sai 3
5)
Chủ đề bị khóa
