Chủ đề này có 2 trả lời

[bigway1906]

cho 3 số thực a, b, c không âm thỏa mãn: a + b + c =3, chứng minh rằng:

$\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$

 

[NTMFlashNo1]

cho 3 số thực a, b, c không âm thỏa mãn: a + b + c =3, chứng minh rằng:

$\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$

Nếu hai trong ba số $a,b,c=0$ thì $BĐT$ hiển nhiên đúng

Nếu ba số $>0$ ta có:

$BĐT$ trên tương đương với:

$\sum \frac{a}{a+b+\frac{a+b+c}{3}}\leq 1$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{3a}{4a+4b+c}\leq 1$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{4a(a+b+c)}{4a+4b+c}\leq \frac{4}{3}(a+b+c)$

 

$\Leftrightarrow \sum \left [ \frac{4a(a+b+c)}{4a+4b+c}-a \right ]\leq \frac{1}{3}(a+b+c)$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{ca}{4a+4b+c}\leq \frac{1}{9}(a+b+c)$

Ta có:

$\frac{9}{4a+4b+c}=\frac{9}{(2b+c)+2(2a+b)}\leq \frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{ca}{4a+4b+c}\leq \frac{1}{9}\sum ca(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b})=\frac{1}{9}\sum a$

$(đúng)$

 

$\Rightarrow Q.E.D$

[TrBaoChis]

 

Nếu hai trong ba số $a,b,c=0$ thì $BĐT$ hiển nhiên đúng

Nếu ba số $>0$ ta có:

$BĐT$ trên tương đương với:

$\sum \frac{a}{a+b+\frac{a+b+c}{3}}\leq 1$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{3a}{4a+4b+c}\leq 1$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{4a(a+b+c)}{4a+4b+c}\leq \frac{4}{3}(a+b+c)$

 

$\Leftrightarrow \sum \left [ \frac{4a(a+b+c)}{4a+4b+c}-a \right ]\leq \frac{1}{3}(a+b+c)$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{ca}{4a+4b+c}\leq \frac{1}{9}(a+b+c)$

Ta có:

$\frac{9}{4a+4b+c}=\frac{9}{(2b+c)+2(2a+b)}\leq \frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{ca}{4a+4b+c}\leq \frac{1}{9}\sum ca(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b})=\frac{1}{9}\sum a$

$(đúng)$

 

$\Rightarrow Q.E.D$

 

 

ta có thể làm ngắn:

$\sum$ $\frac{a}{a+b+1}$ $=$ $\sum$ $(1-\frac{b+1}{a+b+1})$

$\sum$ $\frac{b+1}{a+b+1}$ $\geq$ $\frac{(a+b+c+3)^2}{$\sum$(b+1)(a+b+1)}$ =$ 2 $\rightarrow$ $ $Q.E.D$    ( cái ở giữa khai triển kết hợp gt )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrBaoChis: 18-04-2017 - 20:14