cho 3 số thực a, b, c không âm thỏa mãn: a + b + c =3, chứng minh rằng:
$\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$
cho 3 số thực a, b, c không âm thỏa mãn: a + b + c =3, chứng minh rằng:
$\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$
cho 3 số thực a, b, c không âm thỏa mãn: a + b + c =3, chứng minh rằng:
$\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$
Nếu hai trong ba số $a,b,c=0$ thì $BĐT$ hiển nhiên đúng
Nếu ba số $>0$ ta có:
$BĐT$ trên tương đương với:
$\sum \frac{a}{a+b+\frac{a+b+c}{3}}\leq 1$
$\Leftrightarrow \sum \frac{3a}{4a+4b+c}\leq 1$
$\Leftrightarrow \sum \frac{4a(a+b+c)}{4a+4b+c}\leq \frac{4}{3}(a+b+c)$
$\Leftrightarrow \sum \left [ \frac{4a(a+b+c)}{4a+4b+c}-a \right ]\leq \frac{1}{3}(a+b+c)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{ca}{4a+4b+c}\leq \frac{1}{9}(a+b+c)$
Ta có:
$\frac{9}{4a+4b+c}=\frac{9}{(2b+c)+2(2a+b)}\leq \frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}$
$\Rightarrow \sum \frac{ca}{4a+4b+c}\leq \frac{1}{9}\sum ca(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b})=\frac{1}{9}\sum a$
$(đúng)$
$\Rightarrow Q.E.D$
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
Nếu hai trong ba số $a,b,c=0$ thì $BĐT$ hiển nhiên đúng
Nếu ba số $>0$ ta có:
$BĐT$ trên tương đương với:
$\sum \frac{a}{a+b+\frac{a+b+c}{3}}\leq 1$
$\Leftrightarrow \sum \frac{3a}{4a+4b+c}\leq 1$
$\Leftrightarrow \sum \frac{4a(a+b+c)}{4a+4b+c}\leq \frac{4}{3}(a+b+c)$
$\Leftrightarrow \sum \left [ \frac{4a(a+b+c)}{4a+4b+c}-a \right ]\leq \frac{1}{3}(a+b+c)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{ca}{4a+4b+c}\leq \frac{1}{9}(a+b+c)$
Ta có:
$\frac{9}{4a+4b+c}=\frac{9}{(2b+c)+2(2a+b)}\leq \frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}$
$\Rightarrow \sum \frac{ca}{4a+4b+c}\leq \frac{1}{9}\sum ca(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b})=\frac{1}{9}\sum a$
$(đúng)$
$\Rightarrow Q.E.D$
ta có thể làm ngắn:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrBaoChis: 18-04-2017 - 20:14
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh