Chủ đề này có 8 trả lời

[supernatural1]

Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. CMR:

$ P=\frac{1}{1+x+x^{2}}+\frac{1}{1+y+y^{2}}+\frac{1}{1+z+z^{2}} \geq 1 $

[Nghiapnh1002]

Đây là bất đẳng thức $Vasc$ nhé bạn:

Một cách cơ bản giải nó là đổi biến:

DO $xyz=1$  nên ta có thể đặt $x=\frac{bc}{a^2}$, $y=\frac{ca}{b^2}$, $z=\frac{ab}{c^2}$

Khi đó  bất đẳng thức trở thành:$\frac{a^4}{a^4+a^2bc+b^2c^2}+\frac{b^4}{b^4+b^2ca+c^2a^2}+\frac{c^4}{c^4+c^2ab+a^2b^2} \geq 1$

$VT\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum (a^4+a^2bc+b^2c^2)}$

Do đó ta cần chứng minh $(\sum a^2)^2 \geq \sum (a^4+a^2bc+b^2c^2)$ và bất đẳng thức này tương đương với 

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq abc(a+b+c)$...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nghiapnh1002: 10-04-2017 - 13:30

[Hoang Dinh Nhat]

Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. CMR:

$ P=\frac{1}{1+x+x^{2}}+\frac{1}{1+y+y^{2}}+\frac{1}{1+z+z^{2}} \geq 1 $

 

Mình CM nó như thế này:

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

$\frac{1}{1+x+x^2}+\frac{1+x+x^2}{9}\geq \frac{2}{3}$

$\frac{1}{1+y+y^2}+\frac{1+y+y^2}{9}\geq \frac{2}{3}$

$\frac{1}{1+z+z^2}+\frac{1+z+z^2}{9}\geq \frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{1+x+x^2}+\frac{1}{1+y+y^2}+\frac{1}{1+z+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2+x+y+z+3}{9}\geq 2$

$\Rightarrow \frac{1}{1+x+x^2}+\frac{1}{1+y+y^2}+\frac{1}{1+z+z^2}\geq 2-\frac{x^2+y^2+z^2+x+y+z+3}{9}$

Mà ta lại có BĐT: $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$

$\Rightarrow \frac{x^2+y^2+z^2+x+y+z+3}{9}\geq \frac{xy+yz+zx+x+y+z+3}{9}$

Mà xyz=1 $\Rightarrow xy=\frac{1}{z};yz=\frac{1}{x};zx=\frac{1}{y}$

$\Rightarrow \frac{xy+yz+zx+x+y+z+3}{9}=\frac{\frac{1}{x}+\tfrac{1}{y}+\frac{1}{z}+x+y+z+3}{9}$

$\Rightarrow \frac{1}{1+x+x^2}+\frac{1}{1+y+y^2}+\frac{1}{1+z+z^2}\geq 2-\frac{\frac{1}{x}+\tfrac{1}{y}+\frac{1}{z}+x+y+z+3}{9}$

Áp dụng BĐT AM-GM, lại có:

$x+\frac{1}{x}\geq 2;y+\frac{1}{y}\geq 2;z+\frac{1}{z}\geq 2$

$\Rightarrow \frac{\frac{1}{x}+\tfrac{1}{y}+\frac{1}{z}+x+y+z+3}{9}\geq \frac{2+2+2+3}{9}=1$

$\Rightarrow \frac{1}{1+x+x^2}+\frac{1}{1+y+y^2}+\frac{1}{1+z+z^2}\geq 2-1=1$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 10-04-2017 - 16:27

[Mr Cooper]

Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. CMR:

$ P=\frac{1}{1+x+x^{2}}+\frac{1}{1+y+y^{2}}+\frac{1}{1+z+z^{2}} \geq 1 $

Nguồn: Vasile Cirtoaje , Võ Quốc Bá Cẩn

[viet9a14124869]

Mình CM nó như thế này:

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

$\frac{1}{1+x+x^2}+\frac{1+x+x^2}{9}\geq \frac{2}{3}$

$\frac{1}{1+y+y^2}+\frac{1+y+y^2}{9}\geq \frac{2}{3}$

$\frac{1}{1+z+z^2}+\frac{1+z+z^2}{9}\geq \frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{1+x+x^2}+\frac{1}{1+y+y^2}+\frac{1}{1+z+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2+x+y+z+3}{9}\geq 2$

$\Rightarrow \frac{1}{1+x+x^2}+\frac{1}{1+y+y^2}+\frac{1}{1+z+z^2}\geq 2-\frac{x^2+y^2+z^2+x+y+z+3}{9}$

Mà ta lại có BĐT: $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$

$\Rightarrow \frac{x^2+y^2+z^2+x+y+z+3}{9}\geq \frac{xy+yz+zx+x+y+z+3}{9}$

Mà xyz=1 $\Rightarrow xy=\frac{1}{z};yz=\frac{1}{x};zx=\frac{1}{y}$

$\Rightarrow \frac{xy+yz+zx+x+y+z+3}{9}=\frac{\frac{1}{x}+\tfrac{1}{y}+\frac{1}{z}+x+y+z+3}{9}$

$\Rightarrow \frac{1}{1+x+x^2}+\frac{1}{1+y+y^2}+\frac{1}{1+z+z^2}\geq 2-\frac{\frac{1}{x}+\tfrac{1}{y}+\frac{1}{z}+x+y+z+3}{9}$

Áp dụng BĐT AM-GM, lại có:

$x+\frac{1}{x}\geq 2;y+\frac{1}{y}\geq 2;z+\frac{1}{z}\geq 2$

$\Rightarrow \frac{\frac{1}{x}+\tfrac{1}{y}+\frac{1}{z}+x+y+z+3}{9}\geq \frac{2+2+2+3}{9}=1$

$\Rightarrow \frac{1}{1+x+x^2}+\frac{1}{1+y+y^2}+\frac{1}{1+z+z^2}\geq 2-1=1$ (đpcm)

Đoạn này bạn hãy đọc lại ,,,,,bị ngược dấu rồi      !!! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 10-04-2017 - 16:03

[Nguyenhuyen_AG]

Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. CMR:

$ P=\frac{1}{1+x+x^{2}}+\frac{1}{1+y+y^{2}}+\frac{1}{1+z+z^{2}} \geq 1 $

 

Thay $(x,y,z)$ bởi $\left(\frac ba,\frac cb,\frac ac\right)$ thì bất đẳng thức trở thành

\[\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^2}{c^2+ca+a^2} \geqslant 1.\]

Ta có

\[\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2} - 1 = \frac{a^2(ab-c^2)^2+b^2(bc-a^2)^2+c^2(ca-b^2)^2}{2(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)} \geqslant 0.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 10-04-2017 - 20:10

[Drago]

Thay $(x,y,z)$ bởi $\left(\frac ba,\frac cb,\frac ac\right)$ thì bất đẳng thức trở thành

\[\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^2}{c^2+ca+a^2} \geqslant 1.\]

Ta có

\[\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2} - 1 = \frac{a^2(ab-c^2)^2+b^2(bc-a^2)^2+c^2(ca-b^2)^2}{2(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)} \geqslant 0.\]

Đoạn gạch chân biến đổi sao hay vậy anh Nguyenhuyen_AG?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 26-04-2017 - 21:43

[Nguyenhuyen_AG]

Đoạn gạch chân biến đổi sao hay vậy anh Nguyenhuyen_AG?

 

Quy đồng và thu gọn sẽ thấy

\[\begin{aligned}\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2} - 1 &= \frac{a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2-abc(ab^2+bc^2+ca^2)}{(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)} \\&= \frac{a^2(ab-c^2)^2+b^2(bc-a^2)^2+c^2(ca-b^2)^2}{2(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)}.\end{aligned}\]

[Drago]

Nhân tiện nhờ anh Nguyenhuyen_AG giải giúp em bài này: 

Bài 1: Cho $\Delta ABC$, trọng tâm G, $\angle CAG=\alpha , \angle CBG=\beta$.

 

Chứng minh : 4sin$\alpha$sin$\beta$$\leq cos^{2}\frac{\alpha -\beta }{2}$

 

 

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ thoả mãn: cos A + cos B + cos C  = $\sqrt{3}$(sinA + sinB + sin C)

 

Chứng minh rằng: Max $\left \{ A;B;C \right \}> \frac{2\pi}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 26-04-2017 - 23:19