Đề HSG Toán 9 Quảng Nam 2016-2017
#1
Đã gửi 10-04-2017 - 17:12
#2
Đã gửi 10-04-2017 - 17:49
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG LỚP 9 CẤP TỈNH
QUẢNG NAM Năm học 2016-2017
Môn thi: TOÁN
$\boxed{\textbf{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$ Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 10/4/2017
Câu 1.(0,5 điểm)
a) Cho biểu thức $P=\left ( \dfrac{x-4}{2x+3\sqrt{x}-2}-\dfrac{2x-5\sqrt{x}-1}{4x-1} \right )\left ( x\sqrt{x}+2+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right )$ với $x>0$ và $x \neq \dfrac{1}{4}$
Rút gọn biểu thức $P$ và tìm x để $P \le \dfrac{3}{2}$
b) Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\dfrac{a^3}{c+a^2}+\dfrac{b^3}{a+b^2}+\dfrac{c^3}{b+c^2}$.
Câu 2.(4,0 điểm)
a) Giải phương trình: $x^2 + \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2=0$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} xy^2+2x-4y=-1\\ x^2y^3+2xy^2-4x+3y=2 \end{matrix}\right.$
Câu 3.(4,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn đẳng thức :
\[a^3-b^3+3(a^2-b^2)+3(a-b)=(a+1)(b+1)+25\]
b) Cho 2 số nguyên $a$ và $b$ thỏa $24a^2+1=b^2$. Chứng minh rằng chỉ có 1 số $a$ hoặc $b$ chia hết cho 5
Câu 4.(2,5 điểm)
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $AK$; lấy điểm $I$ thuộc cung nhỏ $AB$ của đường tròn $(O)$$ (I \neq A,B)$. Gọi $M$ là giao điểm của $IK$ và $BC$, đường trung trực của đoạn thẳng $IM$ cắt $AB$ và $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Chứng minh rằng tứ giác $ADME$ là hình bình hành.
Câu 5.(4,5 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABCD$ $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có trực tâm là $H$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $A,B,C$ của tam giác $ABC$
a) Gọi $K$ là giao điểm $2$ đường thẳng $EF$ và $BC$. Gọi $L$ là giao điểm của đường thẳng $AK$ với đường tròn $(O)$ $(L \neq A)$. Chứng minh $HL$ vuông góc với $AK$
b) Lấy điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O)$ $(M \neq B,C)$. Gọi $N$ và $ P$ lần lượt là điểm đối xứng của $M$ qua $2$ đường thẳng $AB$ và $AC$. Chứng minh $3$ điểm $N,H,P$ thẳng hàng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 10-04-2017 - 17:54
- yeutoan2001, hailang2002, adteams và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 10-04-2017 - 18:52
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG LỚP 9 CẤP TỈNH
QUẢNG NAM Năm học 2016-2017
Môn thi: TOÁN
$\boxed{\textbf{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$ Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 10/4/2017
Câu 1.(0,5 điểm)
a) Cho biểu thức $P=\left ( \dfrac{x-4}{2x+3\sqrt{x}-2}-\dfrac{2x-5\sqrt{x}-1}{4x-1} \right )\left ( x\sqrt{x}+2+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right )$ với $x>0$ và $x \neq \dfrac{1}{4}$
Rút gọn biểu thức $P$ và tìm x để $P \le \dfrac{3}{2}$
b) Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\dfrac{a^3}{c+a^2}+\dfrac{b^3}{a+b^2}+\dfrac{c^3}{b+c^2}$.
Câu bất dễ làm trước:
$A=a-\frac{ac}{c+a^{2}}+b-\frac{ba}{a+b^{2}}+c-\frac{bc}{b+c^{2}}$
$\geq a- \frac{ac}{2a\sqrt{c}}+b-\frac{ba}{2b\sqrt{a}}+c-\frac{cb}{2c\sqrt{b}}$
$=a+b+c-\frac{1}{2}(\sqrt{c}+\sqrt{b}+\sqrt{a}) \geq a+b+c- \frac{1}{4}(a+1+b+1+c+1) = \frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{3}{4}$
Mặt khác từ gt dễ có $a+b+c \geq 3$
Suy ra $A\geq \frac{3}{2}$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.
- bigway1906, Mr Cooper, adteams và 2 người khác yêu thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
#4
Đã gửi 10-04-2017 - 19:04
Bài 3b) Phương trình tương đương $25a^{2}+1=a^{2}+b^{2}$ $(1)$
Giả sử cả 2 số $a,b$ đều không chia hết cho 5. Suy ra: $a^{2},b^{2}\equiv 1,4\pmod{5}$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\equiv 0,2,3 \pmod{5}$
$\Rightarrow$ Vô lý với phương trình $(1)$
Giả sử cả 2 số $a,b$ đều chia hết cho 5. Suy ra $a^{2}+b^{2}\vdots 5\Rightarrow 25a^{2}+1\vdots 5$ (Vô lý)
Vậy 2 điều giả sử trên là sai vậy có 1 số chia hết cho 5.
3a) Phương trình tương đương với:
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})+(3a+3b)(a-b)+3(a-b) = (a+1)(b+1)+25.$
$\Rightarrow (a-b)[(a^{2}+2a+1)+(b^{2}+2b+1)+(ab+a+b+1)] = (a+1)(b+1)+25$
$\Leftrightarrow (a-b)[(a+1)^{2}+(b+1)^{2}+(a+1)(b+1)]= (a+1)(b+1)+25$
Đặt $(a+1;b+1)=(x;y)$ khi đó pt tương đương với $(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=xy+25$
$\Leftrightarrow x^{3}-y^{3}-xy=25$ $(1)$
$\Leftrightarrow (3x)^{3}-(3y)^{3}-3.3.3xy.1-1= 674$
$\Leftrightarrow (3x-3y-1)(9x^{2}+9y^{2}+1+9xy-3y+3x)=674= 337.2$
$\Rightarrow 3x-3y-1=2$ và $3x^{2}+3y^{2}+3xy-y+x=112$
Đến đây thì thế vào và giải thôi.
P/s: Thực chất bài này là pt(1) chẳng qua đổi biến thêm thắt.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 10-04-2017 - 19:31
- Mr Cooper và HoangTienDung1999 thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
#5
Đã gửi 10-04-2017 - 19:38
Xin góp ý một cách hơi khác cho câu 3a)
Phương trình tương đương với:
$(a+1)^3-(b+1)^3=(a+1)(b+1)+25$
Đặt: $H=(a+1)-(b+1);P=(a+1)(b+1)$.
Rõ ràng $H,P> 0$.
Từ đó, ta có: $P=\frac{25-H^3}{3H-1}$.
Do: $P> 0$ nên $H$ có thể nhận $3$ giá trị $1;2;3$.
Thực tế chỉ có $H=1$ thỏa mãn.
Suy ra $P=12$.
Tới đây đã có thể dễ dàng giải tiếp.
- bigway1906, thinhnarutop, Mr Cooper và 2 người khác yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#6
Đã gửi 10-04-2017 - 20:31
#Baoriven giải giống mình
#7
Đã gửi 10-04-2017 - 23:21
Câu 2.(4,0 điểm)
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} xy^2+2x-4y=-1\\ x^2y^3+2xy^2-4x+3y=2 \end{matrix}\right.$
xét y = 0, x = -1/2 là 1 nghiệm của hệ,
xét $y\neq 0$, từ hai pt, ta rút ra được:
$xy-4=-\left ( \frac{2x+1}{y} \right )$
$\left ( xy \right )^{2}+2xy+3=2\left ( \frac{2x+1}{y} \right )$
đặt xy = a, $\left ( \frac{2x+1}{y} \right ) =b$
ta được hệ:
a-4=-b
a^2 + 2a + 3 = 2b, đến đây dễ r
- HoangTienDung1999 yêu thích
#8
Đã gửi 20-04-2017 - 15:51
Câu 4.
$\Delta KBM \sim \Delta KIB \Rightarrow BK^2=KM.KI $
$\Rightarrow$ $KB$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$
$\Rightarrow$ Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$ là giao điểm của $AB$ và đường trung trực của $IM$
$\Rightarrow$ D là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$
$\Rightarrow$ $DB=DM$ $\Rightarrow$ $DM \parallel AE$ $(1)$
CMTT: $AD \parallel ME$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow$ $ADME$ là hình bình hành
- thinhnarutop, Nguyenphuctang và NHoang1608 thích
#9
Đã gửi 30-04-2017 - 17:51
Câu phương trình nào nhỉ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethanhtuan213: 30-04-2017 - 17:55
"Cứ mãi ở ao làng, rồi ao sẽ cạn
Sao không ra sông ra biển để vẫy vùng?"
- trích Trên đường băng
#10
Đã gửi 01-05-2017 - 15:14
Câu 4.
$\Delta KBM \sim \Delta KIB \Rightarrow BK^2=KM.KI $
$\Rightarrow$ $KB$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$
$\Rightarrow$ Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$ là giao điểm của $AB$ và đường trung trực của $IM$
$\Rightarrow$ D là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$
$\Rightarrow$ $DB=DM$ $\Rightarrow$ $DM \parallel AE$ $(1)$
CMTT: $AD \parallel ME$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow$ $ADME$ là hình bình hành
cho mình hỏi tí, bạn vẽ hình bằng phần mềm gì vậy
TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN VMF
#11
Đã gửi 01-05-2017 - 17:02
#14
Đã gửi 02-05-2017 - 09:37
$\boxed{\textbf{TỔNG HỢP LỜI GIẢI}}$
Câu 1:
a)(HoangKhanh2002)
Đáp số: $\boxed{P=\frac{x\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}}}$; $P \leqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow x=1$
b) (NHoang1608)
$A=a-\frac{ac}{c+a^{2}}+b-\frac{ba}{a+b^{2}}+c-\frac{bc}{b+c^{2}}$
$\geq a- \frac{ac}{2a\sqrt{c}}+b-\frac{ba}{2b\sqrt{a}}+c-\frac{cb}{2c\sqrt{b}}$
$=a+b+c-\frac{1}{2}(\sqrt{c}+\sqrt{b}+\sqrt{a}) \geq a+b+c- \frac{1}{4}(a+1+b+1+c+1) = \frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{3}{4}$
Mặt khác từ gt dễ có $a+b+c \geq 3$
Suy ra $A\geq \frac{3}{2}$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.
Câu 2:
b) (bigway1906)
-Xét y = 0, x = -1/2 là 1 nghiệm của hệ,
Xét $y\neq 0$, từ hai pt, ta rút ra được:
$xy-4=-\left ( \frac{2x+1}{y} \right )$
$\left ( xy \right )^{2}+2xy+3=2\left ( \frac{2x+1}{y} \right )$
Đặt xy = a, $\left ( \frac{2x+1}{y} \right ) =b$
Ta được hệ:
$\left\{\begin{matrix} a-4=-b\\ a^2 + 2a + 3 = 2b \end{matrix}\right.$
Đáp số: $\boxed{(x;y)\in \left \{ (1;1);\left ( -\frac{3}{2};-\frac{2}{3} \right ) \right \}}$
Câu 3:
a)
Cách 1: (NHoang1608)
Phương trình tương đương với:
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})+(3a+3b)(a-b)+3(a-b) = (a+1)(b+1)+25.$
$\Rightarrow (a-b)[(a^{2}+2a+1)+(b^{2}+2b+1)+(ab+a+b+1)] = (a+1)(b+1)+25$
$\Leftrightarrow (a-b)[(a+1)^{2}+(b+1)^{2}+(a+1)(b+1)]= (a+1)(b+1)+25$
Đặt $(a+1;b+1)=(x;y)$ khi đó pt tương đương với $(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=xy+25$
$\Leftrightarrow x^{3}-y^{3}-xy=25$ $(1)$
$\Leftrightarrow (3x)^{3}-(3y)^{3}-3.3.3xy.1-1= 674$
$\Leftrightarrow (3x-3y-1)(9x^{2}+9y^{2}+1+9xy-3y+3x)=674= 337.2$
$\Rightarrow 3x-3y-1=2$ và $3x^{2}+3y^{2}+3xy-y+x=112$
Đến đây thì thế vào và giải thôi.
Cách 2: (Baoriven)
Phương trình tương đương với:
$(a+1)^3-(b+1)^3=(a+1)(b+1)+25$
Đặt: $H=(a+1)-(b+1);P=(a+1)(b+1)$.
Rõ ràng $H,P> 0$.
Từ đó, ta có: $P=\frac{25-H^3}{3H-1}$.
Do: $P> 0$ nên $H$ có thể nhận $3$ giá trị $1;2;3$.
Thực tế chỉ có $H=1$ thỏa mãn.
Suy ra $P=12$.
Tới đây đã có thể dễ dàng giải tiếp
Đáp số: $\boxed{(a;b)\in \left \{ (-4;-5);(3;2) \right \}}$
b) (NHoang1608)
Phương trình tương đương $25a^{2}+1=a^{2}+b^{2}$ $(1)$
Giả sử cả 2 số $a,b$ đều không chia hết cho 5. Suy ra: $a^{2},b^{2}\equiv 1,4\pmod{5}$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\equiv 0,2,3 \pmod{5}$
$\Rightarrow$ Vô lý với phương trình $(1)$
Giả sử cả 2 số $a,b$ đều chia hết cho 5. Suy ra $a^{2}+b^{2}\vdots 5\Rightarrow 25a^{2}+1\vdots 5$ (Vô lý)
Vậy 2 điều giả sử trên là sai vậy có 1 số chia hết cho 5.
Câu 4: (Mr Cooper)
$\Delta KBM \sim \Delta KIB \Rightarrow BK^2=KM.KI $
$\Rightarrow$ $KB$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$
$\Rightarrow$ Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$ là giao điểm của $AB$ và đường trung trực của $IM$
$\Rightarrow$ D là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$
$\Rightarrow$ $DB=DM$ $\Rightarrow$ $DM \parallel AE$ $(1)$
CMTT: $AD \parallel ME$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow$ $ADME$ là hình bình hành
Câu 5: (HoangKhanh2002)
a) Tứ giác BFEC nội tiếp nên: $\widehat{KFB}=\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$
Tứ giác ALBC nội tiếp nên: $\widehat{ACB}=\widehat{KLB}$
Do đó: $\widehat{KLB}=\widehat{KFB}$ nên KLFB nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{ALF}=\widehat{KBF}=\widehat{FHD}\Rightarrow$ ALFH nội tiếp $\Rightarrow \widehat{ALH}=\widehat{AFH}=90^o$
b) Đây chính là đường thẳng Stainer
Ta có: $\widehat{DHC}=\widehat{ABC}=\widehat{AMC}$ do các tứ giác FHDB và ABMC nội tiếp
Lại có: $\widehat{AMC}=\widehat{APC}$ (tính chất đối xứng)
Do đó: $\widehat{DHC}=\widehat{APC}\Rightarrow$AHCP nội tiếp $\Rightarrow \widehat{CHP}=\widehat{CAP}=\widehat{CAM}=\widehat{CBM}$
Tương tự: $\widehat{NHB}=\widehat{MCB}$
Mà: $\widehat{BHC}=\widehat{BMC}$ (cùng bù $\widehat{BAC}$)
$\Rightarrow \widehat{CHP}+\widehat{BHC}+\widehat{NHB}=\widehat{MBC}+\widehat{MCB}+\widehat{BMC}=180^o \Rightarrow \overline{N,H,P}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 02-05-2017 - 10:26
- LinhToan, Mr Cooper, HoangTienDung1999 và 4 người khác yêu thích
#15
Đã gửi 17-09-2017 - 09:58
câu 2b đáp số thiếu nghiệm bạn ơi
nếu chúng ta cố gắng không có gì là không thể...................
#16
Đã gửi 19-02-2018 - 20:48
sao lại tam giác nhọn ABCD (câu 5 ấy)
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh