Đến nội dung

Hình ảnh

Đề HSG Toán 9 Quảng Nam 2016-2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1
baohiep

baohiep

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết

17888550_430343093986673_444063105_n.jpg



#2
Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                              KỲ THI HSG LỚP 9 CẤP TỈNH 

           QUẢNG NAM                                                                                                     Năm học 2016-2017

 

                                                                                                                         Môn thi: TOÁN

  $\boxed{\textbf{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$                                                             Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                                                                                         Ngày thi: 10/4/2017

 

Câu 1.(0,5 điểm) 

a) Cho biểu thức $P=\left ( \dfrac{x-4}{2x+3\sqrt{x}-2}-\dfrac{2x-5\sqrt{x}-1}{4x-1} \right )\left ( x\sqrt{x}+2+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right )$ với $x>0$ và $x \neq \dfrac{1}{4}$

Rút gọn biểu thức $P$ và tìm x để $P \le \dfrac{3}{2}$

b) Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\dfrac{a^3}{c+a^2}+\dfrac{b^3}{a+b^2}+\dfrac{c^3}{b+c^2}$.

Câu 2.(4,0 điểm)

a) Giải phương trình: $x^2 + \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2=0$

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} xy^2+2x-4y=-1\\ x^2y^3+2xy^2-4x+3y=2 \end{matrix}\right.$

Câu 3.(4,0 điểm)

a) Tìm các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn đẳng thức :

\[a^3-b^3+3(a^2-b^2)+3(a-b)=(a+1)(b+1)+25\]

b) Cho 2 số nguyên $a$ và $b$ thỏa $24a^2+1=b^2$. Chứng minh rằng chỉ có 1 số $a$ hoặc $b$ chia hết cho 5

Câu 4.(2,5 điểm)

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $AK$; lấy điểm $I$ thuộc cung nhỏ $AB$ của đường tròn $(O)$$ (I \neq A,B)$. Gọi $M$ là giao điểm của $IK$ và $BC$, đường trung trực của đoạn thẳng $IM$ cắt $AB$ và $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Chứng minh rằng tứ giác $ADME$ là hình bình hành.

Câu 5.(4,5 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABCD$ $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có trực tâm là $H$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $A,B,C$ của tam giác $ABC$

a) Gọi $K$ là giao điểm $2$ đường thẳng $EF$ và $BC$. Gọi $L$ là giao điểm của đường thẳng $AK$ với đường tròn $(O)$ $(L \neq A)$. Chứng minh $HL$ vuông góc với $AK$

b) Lấy điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O)$ $(M \neq B,C)$. Gọi $N$ và $ P$ lần lượt là điểm đối xứng của $M$ qua $2$ đường thẳng $AB$ và $AC$. Chứng minh $3$ điểm $N,H,P$ thẳng hàng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 10-04-2017 - 17:54


#3
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                              KỲ THI HSG LỚP 9 CẤP TỈNH 

           QUẢNG NAM                                                                                                     Năm học 2016-2017

 

                                                                                                                         Môn thi: TOÁN

  $\boxed{\textbf{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$                                                             Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                                                                                         Ngày thi: 10/4/2017

 

Câu 1.(0,5 điểm) 

a) Cho biểu thức $P=\left ( \dfrac{x-4}{2x+3\sqrt{x}-2}-\dfrac{2x-5\sqrt{x}-1}{4x-1} \right )\left ( x\sqrt{x}+2+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right )$ với $x>0$ và $x \neq \dfrac{1}{4}$

Rút gọn biểu thức $P$ và tìm x để $P \le \dfrac{3}{2}$

b) Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\dfrac{a^3}{c+a^2}+\dfrac{b^3}{a+b^2}+\dfrac{c^3}{b+c^2}$.

 

Câu bất dễ làm trước:

$A=a-\frac{ac}{c+a^{2}}+b-\frac{ba}{a+b^{2}}+c-\frac{bc}{b+c^{2}}$

$\geq a- \frac{ac}{2a\sqrt{c}}+b-\frac{ba}{2b\sqrt{a}}+c-\frac{cb}{2c\sqrt{b}}$

$=a+b+c-\frac{1}{2}(\sqrt{c}+\sqrt{b}+\sqrt{a}) \geq a+b+c- \frac{1}{4}(a+1+b+1+c+1) = \frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{3}{4}$

Mặt khác từ gt dễ có $a+b+c \geq 3$

Suy ra $A\geq \frac{3}{2}$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.


The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#4
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

Bài 3b) Phương trình tương đương $25a^{2}+1=a^{2}+b^{2}$  $(1)$

Giả sử cả 2 số $a,b$ đều không chia hết cho 5. Suy ra: $a^{2},b^{2}\equiv 1,4\pmod{5}$

                                                                    $\Rightarrow a^{2}+b^{2}\equiv 0,2,3 \pmod{5}$

                                                                    $\Rightarrow$ Vô lý với phương trình $(1)$

Giả sử cả 2 số $a,b$ đều chia hết cho 5. Suy ra $a^{2}+b^{2}\vdots 5\Rightarrow 25a^{2}+1\vdots 5$ (Vô lý)

Vậy 2 điều giả sử trên là sai vậy có 1 số chia hết cho 5.

3a) Phương trình tương đương với:

$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})+(3a+3b)(a-b)+3(a-b) = (a+1)(b+1)+25.$ 

$\Rightarrow (a-b)[(a^{2}+2a+1)+(b^{2}+2b+1)+(ab+a+b+1)] = (a+1)(b+1)+25$

$\Leftrightarrow (a-b)[(a+1)^{2}+(b+1)^{2}+(a+1)(b+1)]= (a+1)(b+1)+25$

Đặt $(a+1;b+1)=(x;y)$ khi đó pt tương đương với $(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=xy+25$

                                                                      $\Leftrightarrow x^{3}-y^{3}-xy=25$ $(1)$

                                                                      $\Leftrightarrow (3x)^{3}-(3y)^{3}-3.3.3xy.1-1= 674$

                                                                      $\Leftrightarrow (3x-3y-1)(9x^{2}+9y^{2}+1+9xy-3y+3x)=674= 337.2$

$\Rightarrow 3x-3y-1=2$ và $3x^{2}+3y^{2}+3xy-y+x=112$

Đến đây thì thế vào và giải thôi.

 

P/s: Thực chất bài này là pt(1) chẳng qua đổi biến thêm thắt.

                                                                                


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 10-04-2017 - 19:31

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#5
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Xin góp ý một cách hơi khác cho câu 3a)

Phương trình tương đương với:

$(a+1)^3-(b+1)^3=(a+1)(b+1)+25$

Đặt: $H=(a+1)-(b+1);P=(a+1)(b+1)$.

Rõ ràng $H,P> 0$.

Từ đó, ta có: $P=\frac{25-H^3}{3H-1}$.

Do: $P> 0$ nên $H$ có thể nhận $3$ giá trị $1;2;3$.

Thực tế chỉ có $H=1$ thỏa mãn.

Suy ra $P=12$.

Tới đây đã có thể dễ dàng giải tiếp.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#6
baohiep

baohiep

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết

#Baoriven giải giống mình



#7
bigway1906

bigway1906

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

Câu 2.(4,0 điểm)

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} xy^2+2x-4y=-1\\ x^2y^3+2xy^2-4x+3y=2 \end{matrix}\right.$

xét y = 0, x = -1/2 là 1 nghiệm của hệ,

xét $y\neq 0$, từ hai pt, ta rút ra được:

$xy-4=-\left ( \frac{2x+1}{y} \right )$

$\left ( xy \right )^{2}+2xy+3=2\left ( \frac{2x+1}{y} \right )$

đặt xy = a, $\left ( \frac{2x+1}{y} \right ) =b$

ta được hệ:

a-4=-b

a^2 + 2a + 3 = 2b, đến đây dễ r



#8
Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết

Câu 4. 

Hinh VMF.png

$\Delta KBM \sim \Delta KIB \Rightarrow BK^2=KM.KI $ 

$\Rightarrow$ $KB$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$

$\Rightarrow$ Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$ là giao điểm của $AB$ và đường trung trực của $IM$

$\Rightarrow$ D là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$

$\Rightarrow$ $DB=DM$ $\Rightarrow$ $DM \parallel AE$ $(1)$

CMTT: $AD \parallel ME$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow$ $ADME$ là hình bình hành



#9
lethanhtuan213

lethanhtuan213

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết

Câu phương trình nào nhỉ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethanhtuan213: 30-04-2017 - 17:55

"Cứ mãi ở ao làng, rồi ao sẽ cạn

Sao không ra sông ra biển để vẫy vùng?"

                                           - trích Trên đường băng


#10
HoangTienDung1999

HoangTienDung1999

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Câu 4. 

attachicon.gifHinh VMF.png

$\Delta KBM \sim \Delta KIB \Rightarrow BK^2=KM.KI $ 

$\Rightarrow$ $KB$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$

$\Rightarrow$ Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$ là giao điểm của $AB$ và đường trung trực của $IM$

$\Rightarrow$ D là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$

$\Rightarrow$ $DB=DM$ $\Rightarrow$ $DM \parallel AE$ $(1)$

CMTT: $AD \parallel ME$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow$ $ADME$ là hình bình hành

cho mình hỏi tí, bạn vẽ hình bằng phần mềm gì vậy


:icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6: TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN VMF :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6: 


#11
Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết

cho mình hỏi tí, bạn vẽ hình bằng phần mềm gì vậy

 Sketch pad 



#12
HoangTienDung1999

HoangTienDung1999

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

s

 

 Sketch pad 

sao mình tải nó ra xanh xanh mà bạn


:icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6: TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN VMF :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6: 


#13
The Flash

The Flash

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết

geogebra-export (2).png

hình bài 5 câu b đây



#14
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

$\boxed{\textbf{TỔNG HỢP LỜI GIẢI}}$

Câu 1:

a)(HoangKhanh2002)

Đáp số: $\boxed{P=\frac{x\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}}}$; $P \leqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow x=1$

b) (NHoang1608)

$A=a-\frac{ac}{c+a^{2}}+b-\frac{ba}{a+b^{2}}+c-\frac{bc}{b+c^{2}}$

$\geq a- \frac{ac}{2a\sqrt{c}}+b-\frac{ba}{2b\sqrt{a}}+c-\frac{cb}{2c\sqrt{b}}$

$=a+b+c-\frac{1}{2}(\sqrt{c}+\sqrt{b}+\sqrt{a}) \geq a+b+c- \frac{1}{4}(a+1+b+1+c+1) = \frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{3}{4}$

Mặt khác từ gt dễ có $a+b+c \geq 3$

Suy ra $A\geq \frac{3}{2}$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.

Câu 2:

b) (bigway1906)

-Xét y = 0, x = -1/2 là 1 nghiệm của hệ,

Xét $y\neq 0$, từ hai pt, ta rút ra được:

$xy-4=-\left ( \frac{2x+1}{y} \right )$

$\left ( xy \right )^{2}+2xy+3=2\left ( \frac{2x+1}{y} \right )$

Đặt xy = a, $\left ( \frac{2x+1}{y} \right ) =b$

Ta được hệ:

$\left\{\begin{matrix} a-4=-b\\ a^2 + 2a + 3 = 2b \end{matrix}\right.$

Đáp số: $\boxed{(x;y)\in \left \{ (1;1);\left ( -\frac{3}{2};-\frac{2}{3} \right ) \right \}}$

Câu 3:

a)

Cách 1: (NHoang1608)

Phương trình tương đương với:

$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})+(3a+3b)(a-b)+3(a-b) = (a+1)(b+1)+25.$ 

$\Rightarrow (a-b)[(a^{2}+2a+1)+(b^{2}+2b+1)+(ab+a+b+1)] = (a+1)(b+1)+25$

$\Leftrightarrow (a-b)[(a+1)^{2}+(b+1)^{2}+(a+1)(b+1)]= (a+1)(b+1)+25$

Đặt $(a+1;b+1)=(x;y)$ khi đó pt tương đương với $(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=xy+25$

$\Leftrightarrow x^{3}-y^{3}-xy=25$ $(1)$

$\Leftrightarrow (3x)^{3}-(3y)^{3}-3.3.3xy.1-1= 674$

$\Leftrightarrow (3x-3y-1)(9x^{2}+9y^{2}+1+9xy-3y+3x)=674= 337.2$

$\Rightarrow 3x-3y-1=2$ và $3x^{2}+3y^{2}+3xy-y+x=112$

Đến đây thì thế vào và giải thôi.

Cách 2: (Baoriven)

Phương trình tương đương với:

$(a+1)^3-(b+1)^3=(a+1)(b+1)+25$

Đặt: $H=(a+1)-(b+1);P=(a+1)(b+1)$.

Rõ ràng $H,P> 0$.

Từ đó, ta có: $P=\frac{25-H^3}{3H-1}$.

Do: $P> 0$ nên $H$ có thể nhận $3$ giá trị $1;2;3$.

Thực tế chỉ có $H=1$ thỏa mãn.

Suy ra $P=12$.

Tới đây đã có thể dễ dàng giải tiếp

Đáp số: $\boxed{(a;b)\in \left \{ (-4;-5);(3;2) \right \}}$

b) (NHoang1608)

Phương trình tương đương $25a^{2}+1=a^{2}+b^{2}$  $(1)$

Giả sử cả 2 số $a,b$ đều không chia hết cho 5. Suy ra: $a^{2},b^{2}\equiv 1,4\pmod{5}$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\equiv 0,2,3 \pmod{5}$

 $\Rightarrow$ Vô lý với phương trình $(1)$

Giả sử cả 2 số $a,b$ đều chia hết cho 5. Suy ra $a^{2}+b^{2}\vdots 5\Rightarrow 25a^{2}+1\vdots 5$ (Vô lý)

Vậy 2 điều giả sử trên là sai vậy có 1 số chia hết cho 5.

Câu 4: (Mr Cooper)

post-159994-0-80999500-1492678309.png

$\Delta KBM \sim \Delta KIB \Rightarrow BK^2=KM.KI $ 

$\Rightarrow$ $KB$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$

$\Rightarrow$ Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$ là giao điểm của $AB$ và đường trung trực của $IM$

$\Rightarrow$ D là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIM$

$\Rightarrow$ $DB=DM$ $\Rightarrow$ $DM \parallel AE$ $(1)$

CMTT: $AD \parallel ME$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow$ $ADME$ là hình bình hành

Câu 5: (HoangKhanh2002)

quang nam bai 5.png

a) Tứ giác BFEC nội tiếp nên: $\widehat{KFB}=\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$

Tứ giác ALBC nội tiếp nên: $\widehat{ACB}=\widehat{KLB}$

Do đó: $\widehat{KLB}=\widehat{KFB}$ nên KLFB nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{ALF}=\widehat{KBF}=\widehat{FHD}\Rightarrow$ ALFH nội tiếp $\Rightarrow \widehat{ALH}=\widehat{AFH}=90^o$

b) Đây chính là đường thẳng Stainer

Ta có: $\widehat{DHC}=\widehat{ABC}=\widehat{AMC}$ do các tứ giác FHDB và ABMC nội tiếp

Lại có: $\widehat{AMC}=\widehat{APC}$ (tính chất đối xứng)

Do đó: $\widehat{DHC}=\widehat{APC}\Rightarrow$AHCP nội tiếp $\Rightarrow \widehat{CHP}=\widehat{CAP}=\widehat{CAM}=\widehat{CBM}$

Tương tự: $\widehat{NHB}=\widehat{MCB}$

Mà: $\widehat{BHC}=\widehat{BMC}$ (cùng bù $\widehat{BAC}$)

$\Rightarrow \widehat{CHP}+\widehat{BHC}+\widehat{NHB}=\widehat{MBC}+\widehat{MCB}+\widehat{BMC}=180^o \Rightarrow \overline{N,H,P}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 02-05-2017 - 10:26


#15
syhoangtran

syhoangtran

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

câu 2b đáp số thiếu nghiệm bạn ơi


nếu chúng ta cố gắng không có gì là không thể...................


#16
KiritoSAO123

KiritoSAO123

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

sao lại tam giác nhọn ABCD (câu 5 ấy)






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh