Chủ đề này có 2 trả lời

[linhtrang1602]

Cho $(C_{1}):x^{2}+y^{2}=9$; điểm $M(2;-1)$. Lập phương trình đường tròn $(C_{2})$ bán kính $R_{2}=2\sqrt{5}$ biết $(C_{2})$ đi qua điểm $M$ và cắt $(C_{1})$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

[ThuThao36]

Cho $(C_{1}):x^{2}+y^{2}=9$; điểm $M(2;-1)$. Lập phương trình đường tròn $(C_{2})$ bán kính $R_{2}=2\sqrt{5}$ biết $(C_{2})$ đi qua điểm $M$ và cắt $(C_{1})$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi $I_{1}$ , $I_{2}$ là tâm của 2 đường tròn, H là giao của AB và $I_{1}I_{2}$

$AB=2AH=2\sqrt{I_{1}A^{2}-I_{1}H^{2}}$

Để AB nhỏ nhất thì $I_{1}H$ lớn nhất.

Nhận thấy M nằm trong $(C_{1})$ $\Rightarrow I_{1}H\leq I_{1}M$

$\Leftrightarrow$ AB nhỏ nhất khi M trùng với H

Viết phương trình $I_{1}I_{2}$ , tham số hóa $I_{2}$ . Tính $I_{2}H \Rightarrow$ Tọa độ $I_{2} \Rightarrow (C_{2})$

[vkhoa]

Cho $(C_{1}):x^{2}+y^{2}=9$; điểm $M(2;-1)$. Lập phương trình đường tròn $(C_{2})$ bán kính $R_{2}=2\sqrt{5}$ biết $(C_{2})$ đi qua điểm $M$ và cắt $(C_{1})$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xét đường tròn $(O_1,R_1)$ đường thẳng $(d)$ đi qua $O_1$

đường tròn $(O_2, R_2)$ có tâm chạy trên (d)

gọi I là giao điểm của $(O_1)$ với (d)

đường tròn $(I, R_2)$ cắt (d) tại C, D

$(O_2)$ cắt $(O_1)$ tại A, B

khi $O_2$ chạy từ C đến D hay $O_1O_2$ thay đổi từ $|R_2 -R_1|$ dến $R_2 +R_1$ thì AB có giá trị liên tục thay đổi từ 0 đến min$\{R_1, R_2\}$ rồi giảm dần xuống 0

như vậy nếu $O_1O_2$ liên tục và bị giới hạn trên một khoảng [a, b] nào đó thì ta sẽ có AB nhỏ nhất khi $O_1O_2 =a$ hoặc khi $O_1O_2 =b$

quay trở lại bài toán

gọi $O_1, O_2$ lần lượt làn tâm của $(C_1), (C_2)$

ta có $O_2$ chạy trên đường tròn $(M, 2\sqrt5)$

$\Rightarrow O_1O_2$ đạt min hoặc max khi $O_1, O_2, M$ thẳng hàng

$\overrightarrow{O_1M} =(2, -1)$

$\overrightarrow{MO_2} =(2k, -k)$

$MO_2^2 =4k^2 +k^2 =5k^2 =20$

$\Rightarrow k =\pm2$

$\Rightarrow \overrightarrow{MO_2} =(-4, 2) $hoặc $\overrightarrow{MO_2} =(4, -2)$

$\Rightarrow O_2 =(-2, 1)$ hoặc $O_2 =(6, -3)$

có $x_A^2 +y_A^2 =9$ (1)

* nếu $O_2 =(-2, 1)$

có $x_A^2  +4x_A +4 +y_A^2 -2y_A +1 =20$ (2)

từ (1, 2)$\Rightarrow$ A thuộc đường thẳng $2x - y -3 =0$

$\Rightarrow A =(0, -3)$ hoặc $A =(\frac{12}5, \frac95)$

$\Rightarrow AB^2 =(\frac{12}5 -0)^2 +(\frac95 +3)^2 =\frac{144}5$ (3)

* nếu $O_2 =(6, -3)$

có $x_A^2 -12x_A +36 +y_A^2 +6y_A +9 =20$ (4)

từ (1, 4)$\Rightarrow$ A thuộc $6x -3y -17 =0$

$\Rightarrow A =(\frac{34 -2\sqrt{29}}{15}, \frac{-17 -4\sqrt{29}}{15})$ hoặc $A =(\frac{34 +2\sqrt{29}}{15},\frac{-17 +4\sqrt{29}}{15} )$

$\Rightarrow AB^2 =\frac{464}{25}$ (5)

* từ (3, 5)$\Rightarrow O_2 =(6, -3)$

$\Rightarrow $pt (C2) là $(x -6)^2 +(y +3)^2 =20$