SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
HÀ NAM NĂM HỌC 2016-2017
$\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$ Môn: TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 (4 đ)Cho biểu thức $Q = \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}$
1) Rút gọn biểu thức Q
2) Tính giá trị biểu thức Q tại $x=3-8\sqrt{2}$
3) Chứng minh rằng $Q<\frac{1}{3}$
Câu 2 (4 đ)
1) cho parabol $(P): y=-x^2$ và đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $I(0;-1)$, có hệ số góc k. Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (P).Giả sử A,B có hoành độ $x_{1}$;$x_{2}$
a) Tìm k để trung điểm của AB nằm trên trục tung.
b) Chứng minh rằng $\left | x_{1}^3-x_{2}^3 \right |\geq 2$
2)Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn:
$32x^2+87y^2+32x-78y-96xy-1225=0$
Câu 3(3 đ)Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} &x^3-y^3+6x^2-3y^2=-12x+3y-7 \\ &y\sqrt{x+3}+(y+6)\sqrt{x+10}=y^2+4x \end{matrix}\right.$
Câu 4 (7 đ):Cho tam giác ABC nhọn ($AB<AC$) có đường cao AH. Gọi O và I lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M. Kẻ đường kính AG của đường tròn (O), đường thẳng MG cắt AH và BC theo thứ tự tại N và K; AM cắt BC tại L.
1) Chứng minh rằng $MG.MK=ML.MA$
2) Chứng mỉnh rằng tứ giác NHIK nội tiếp đường tròn.
3) Đường thẳng GI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D, gọi E là tiếp điểm của BC với đường tròn (I). Chứng minh ba điểm M,E,D thẳng hàng
4) Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm S. Chứng minh rằng nếu $AB+AC=2BC$ thì I là trọng tâm $\Delta AKS$.
Câu 5 (2 đ)Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn $5(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})=4(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})+2017$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{1}{4x+3y+z}+\frac{1}{x+4y+3z}+\frac{1}{3x+y+4z}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 11-04-2017 - 16:51