Chủ đề này có 3 trả lời

[supernatural1]

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn: $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 $. Chứng minh rằng:

$ \frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}} \leq 1 $

[tuaneee111]

Bạn có thể tham khảo tại đây: https://drive.google...2FQdmdJT3M/view

[supernatural1]

ai còn cách khác hay hơn không

[phamngochung9a]

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn: $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 $. Chứng minh rằng:

$ \frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}} \leq 1 $

Dùng tiếp tuyến có vẻ gọn nhất:

Ta sẽ tìm hai số thực $a,b$ sao cho: $\frac{1}{4-x}\leq ax^{2}+b$

• Tại $x=1$ thì: $a+b=\frac{1}{3}$
• Đạo hàm hai vế, ta có: $\left ( ax^{2}+b \right )^{'}_{(1)}=\left ( \frac{1}{4-x} \right )^{'}_{(1)}\Rightarrow 2a=\frac{1}{9}$

Từ đó, ta có: $a=\frac{1}{18}\Rightarrow b=\frac{5}{18}$

 

Vậy ta sẽ chứng minh: $\frac{x^{2}}{18}+\frac{5}{18}\geq \frac{1}{4-x}$ với mọi $x<2$

 

BĐT tương đương với $ \frac{\left ( 2-x \right )\left ( x-1 \right )^{2}}{18\left ( 4-x \right )}\geq 0$    (luôn đúng $\forall x< 2$)

 

Từ đề bài, ta có: $3> 2ab\Rightarrow \sqrt{ab}< 2\Rightarrow \frac{1}{4-\sqrt{ab}}\leq \frac{ab}{18}+\frac{5}{18}$

 

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại, ta có: $VT\leq \frac{ab+bc+ca}{18}+\frac{5}{6}\leq 1$

 

BĐT được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 11-04-2017 - 20:24