Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn: $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 $. Chứng minh rằng:
$ \frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}} \leq 1 $
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn: $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 $. Chứng minh rằng:
$ \frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}} \leq 1 $
Bạn có thể tham khảo tại đây: https://drive.google...2FQdmdJT3M/view
$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$
Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya
ai còn cách khác hay hơn không
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn: $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 $. Chứng minh rằng:
$ \frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}} \leq 1 $
Dùng tiếp tuyến có vẻ gọn nhất:
Ta sẽ tìm hai số thực $a,b$ sao cho: $\frac{1}{4-x}\leq ax^{2}+b$
Từ đó, ta có: $a=\frac{1}{18}\Rightarrow b=\frac{5}{18}$
Vậy ta sẽ chứng minh: $\frac{x^{2}}{18}+\frac{5}{18}\geq \frac{1}{4-x}$ với mọi $x<2$
BĐT tương đương với $ \frac{\left ( 2-x \right )\left ( x-1 \right )^{2}}{18\left ( 4-x \right )}\geq 0$ (luôn đúng $\forall x< 2$)
Từ đề bài, ta có: $3> 2ab\Rightarrow \sqrt{ab}< 2\Rightarrow \frac{1}{4-\sqrt{ab}}\leq \frac{ab}{18}+\frac{5}{18}$
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại, ta có: $VT\leq \frac{ab+bc+ca}{18}+\frac{5}{6}\leq 1$
BĐT được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 11-04-2017 - 20:24
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh