$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinx^{2007}}{sinx^{2007}+cosx^{2007}}dx$
tich phan
#1
Đã gửi 13-04-2017 - 09:17
#2
Đã gửi 02-07-2017 - 11:13
Nhận xét: Mũ khá cao nên ta cần tìm hàm phụ cho hàm dưới dấu tích phân. (Đó là hàm: $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2007}{x}}{\sin^{2007}{x}+\cos^{2007}{x}}dx$
$I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2007}{x}}{\sin^{2007}{x}+\cos^{2007}{x}}dx$
Đặt: $t=\frac{\pi}{2}-x$ nên $dt=-dx$
Đổi cận:
$x=0$ thì $t=\frac{\pi}{2}$
$x=\frac{\pi}{2}$ thì $t=0$
Khi đó: $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2007}{x}}{\sin^{2007}{x}+\cos^{2007}{x}}dx$
$=-\int_{\frac{\pi}{2}}^0 \frac{\sin^{2007}{(\frac{\pi}{2}-t})}{\sin^{2007} {(\frac{\pi}{2}-t)}+\cos^{2007} {(\frac{\pi}{2}-t)}}dt$
$=-\int_{\frac{\pi}{2}}^0 \frac{\cos^{2007}{t}}{\sin^{2007}{t}+\cos^{2007}{t}}dt$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2007}{x}}{\sin^{2007}{x}+\cos^{2007}{x}}dx=I_2$
Nên $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2007}{x}}{\sin^{2007}{x}+\cos^{2007}{x}}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2007}{x}}{\sin^{2007}{x}+\cos^{2007}{x}}dx=I_2$
Suy ra hệ phương trình: $ \left\{\begin{matrix} I_1=I_2\\I_1+I_2=\frac{\pi}{2} \end{matrix}\right.$
$\iff \left\{\begin{matrix} I_1=I_2\\I_1=\frac{\pi}{4} \end{matrix}\right.$
Vậy: $I_1=I_2=\frac{\pi}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 02-07-2017 - 11:33
Nguyễn Thành Hưng
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh