Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenngocmai]

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinx^{2007}}{sinx^{2007}+cosx^{2007}}dx$

[nguyenthanhhung1985]

Nhận xét: Mũ khá cao nên ta cần tìm hàm phụ cho hàm dưới dấu tích phân. (Đó là hàm: $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2007}{x}}{\sin^{2007}{x}+\cos^{2007}{x}}dx$

$I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2007}{x}}{\sin^{2007}{x}+\cos^{2007}{x}}dx$

Đặt: $t=\frac{\pi}{2}-x$ nên $dt=-dx$

Đổi cận:

$x=0$ thì $t=\frac{\pi}{2}$

$x=\frac{\pi}{2}$ thì $t=0$

Khi đó: $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2007}{x}}{\sin^{2007}{x}+\cos^{2007}{x}}dx$

$=-\int_{\frac{\pi}{2}}^0 \frac{\sin^{2007}{(\frac{\pi}{2}-t})}{\sin^{2007} {(\frac{\pi}{2}-t)}+\cos^{2007} {(\frac{\pi}{2}-t)}}dt$

$=-\int_{\frac{\pi}{2}}^0 \frac{\cos^{2007}{t}}{\sin^{2007}{t}+\cos^{2007}{t}}dt$

$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2007}{x}}{\sin^{2007}{x}+\cos^{2007}{x}}dx=I_2$

Nên $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2007}{x}}{\sin^{2007}{x}+\cos^{2007}{x}}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2007}{x}}{\sin^{2007}{x}+\cos^{2007}{x}}dx=I_2$

Suy ra hệ phương trình: $ \left\{\begin{matrix} I_1=I_2\\I_1+I_2=\frac{\pi}{2} \end{matrix}\right.$

$\iff \left\{\begin{matrix} I_1=I_2\\I_1=\frac{\pi}{4} \end{matrix}\right.$

Vậy: $I_1=I_2=\frac{\pi}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 02-07-2017 - 11:33