Chủ đề này có 1 trả lời

[tritanngo99]

Cho $a,b>0$ thỏa mãn: $\sqrt{2(a+b)}+\sqrt{\frac{(a+1)(b+1)}{a}}+\sqrt{\frac{(a+1)(b+1)}{b}}\ge 6$.

Chứng minh rằng: $\frac{2a^2+b+1}{a}+\frac{2b^2+a+1}{b}\ge 8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 13-04-2017 - 16:41

[cristianoronaldo]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$2+a+b\geq 2\sqrt{2(a+b)}$

$b+1+\frac{a+1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{(a+1)(b+1)}{b}}$

$a+1+\frac{b+1}{a}\geq 2\sqrt{\frac{(a+1)(b+1)}{a}}$

$\Rightarrow P+4\geq 2\sqrt{2(a+b)}+2\sqrt{\frac{(a+1)(b+1)}{a}}+2\sqrt{\frac{(a+1)(b+1)}{b}}\geq 12$

$\Rightarrow P\geq 8$

$\square$