Cho $a,b>0$ thỏa mãn: $\sqrt{2(a+b)}+\sqrt{\frac{(a+1)(b+1)}{a}}+\sqrt{\frac{(a+1)(b+1)}{b}}\ge 6$.
Chứng minh rằng: $\frac{2a^2+b+1}{a}+\frac{2b^2+a+1}{b}\ge 8$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 13-04-2017 - 16:41
Cho $a,b>0$ thỏa mãn: $\sqrt{2(a+b)}+\sqrt{\frac{(a+1)(b+1)}{a}}+\sqrt{\frac{(a+1)(b+1)}{b}}\ge 6$.
Chứng minh rằng: $\frac{2a^2+b+1}{a}+\frac{2b^2+a+1}{b}\ge 8$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 13-04-2017 - 16:41
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$2+a+b\geq 2\sqrt{2(a+b)}$
$b+1+\frac{a+1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{(a+1)(b+1)}{b}}$
$a+1+\frac{b+1}{a}\geq 2\sqrt{\frac{(a+1)(b+1)}{a}}$
$\Rightarrow P+4\geq 2\sqrt{2(a+b)}+2\sqrt{\frac{(a+1)(b+1)}{a}}+2\sqrt{\frac{(a+1)(b+1)}{b}}\geq 12$
$\Rightarrow P\geq 8$
$\square$
Nothing in your eyes
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh