Đến nội dung

Hình ảnh

Tính giới hạn $\lim_{x\to0+}\frac{e^{\frac{-1}{x}}}{x}$

- - - - - giới hạn dãy số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
huyhoangktxxp

huyhoangktxxp

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

các tiền bối giúp em với ạ!

 

17909149_216815375469315_1568238933_n.png



#2
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

các tiền bối giúp em với ạ!

 

attachicon.gif17909149_216815375469315_1568238933_n.png

 

Bài 2: 

Ta có $\frac{e^{-1}{x}}{x}= \dfrac{\frac{1}{x}}{e^{\frac{1}{x}}}.$

 

Nhận xét: với $u>0$, ta có $e^{u} \ge \frac{u^2}{2}.$

Suy ra 

$$0<\frac{e^{-1}{x}}{x}\le 2x \forall x>0.$$

Bằng định lý kẹp, ta suy ra 

$$ \lim_{x\to 0^{+}} \frac{e^{-1}{x}}{x}=0.$$


Đời người là một hành trình...


#3
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

các tiền bối giúp em với ạ!

 

attachicon.gif17909149_216815375469315_1568238933_n.png

Bài 1:

Ta có

 

\[x- \frac{x^3}{6}\le \sin x \le x- \frac{x^3}{6}+ \frac{x^5}{120}\, \forall x\in (0,\pi/2).\]

Suy ra 

\[1- \frac{x^2}{6}\le \frac{\sin x}{x} \le 1- \frac{x^2}{6}+ \frac{x^4}{120}\, \forall x\in (0,\pi/2).\]

 

Thật ra, ta có

\[1- \frac{x^2}{6}\le \frac{\sin x}{x} \le 1- \frac{x^2}{6}+ \frac{x^4}{120}\, \forall x\in (-\pi/2,\pi/2).\]

Ta có

$\lim_{x\to 0}\left(1- \frac{x^2}{6}\right)^{\frac{1}{x^2}}= e^{-\frac{1}{6}}.$

 

Cần xử lý thêm để chứng tỏ  $\lim_{x\to 0}\left(1- \frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}\right)^{\frac{1}{x^2}}= e^{-\frac{1}{6}}.$

 

Theo định lý kẹp, ta có $\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}=e^{-\frac{1}{6}}.$


Đời người là một hành trình...


#4
huyhoangktxxp

huyhoangktxxp

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Bài 1:

Ta có

 

\[x- \frac{x^3}{6}\le \sin x \le x- \frac{x^3}{6}+ \frac{x^5}{120}\, \forall x\in (0,\pi/2).\]

Suy ra 

\[1- \frac{x^2}{6}\le \frac{\sin x}{x} \le 1- \frac{x^2}{6}+ \frac{x^4}{120}\, \forall x\in (0,\pi/2).\]

 

Thật ra, ta có

\[1- \frac{x^2}{6}\le \frac{\sin x}{x} \le 1- \frac{x^2}{6}+ \frac{x^4}{120}\, \forall x\in (-\pi/2,\pi/2).\]

Ta có

$\lim_{x\to 0}\left(1- \frac{x^2}{6}\right)^{\frac{1}{x^2}}= e^{-\frac{1}{6}}.$

 

Cần xử lý thêm để chứng tỏ  $\lim_{x\to 0}\left(1- \frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}\right)^{\frac{1}{x^2}}= e^{-\frac{1}{6}}.$

 

Theo định lý kẹp, ta có $\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}=e^{-\frac{1}{6}}.$

tiền bối cho e hỏi có thể áp dụng phương pháp nào để ta có thể tìm được giả thuyết 

$x-\frac{x^{3}}{6}\leqslant sinx \leqslant x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120} \forall x \euro \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyhoangktxxp: 17-04-2017 - 10:46


#5
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

tiền bối cho e hỏi có thể áp dụng phương pháp nào để ta có thể tìm được giả thuyết 

$x-\frac{x^{3}}{6}\leqslant sinx \leqslant x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120} \forall x \euro \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$

Từ chuỗi Maclaurin của hàm $\sin x$ đó em!

 

$f(x) "=" f(0)+ \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n.$


Đời người là một hành trình...


#6
huyhoangktxxp

huyhoangktxxp

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Bài 2: 

Ta có $\frac{e^{-1}{x}}{x}= \dfrac{\frac{1}{x}}{e^{\frac{1}{x}}}.$

 

Nhận xét: với $u>0$, ta có $e^{u} \ge \frac{u^2}{2}.$

Suy ra 

$$0<\frac{e^{-1}{x}}{x}\le 2x \forall x>0.$$

Bằng định lý kẹp, ta suy ra 

$$ \lim_{x\to 0^{+}} \frac{e^{-1}{x}}{x}=0.$$

phần nhận xét $e^{u}\geqslant \frac{u^{2}}{2}$ ta có thể thay số 2 bằng bất kì số nguyên nào khác như 3,4,.. được không ạ? hay phải tuân theo một quy tắc nào ạ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyhoangktxxp: 20-04-2017 - 10:43


#7
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

phần nhận xét $e^{u}\geqslant \frac{u^{2}}{2}$ ta có thể thay số 2 bằng bất kì số nguyên nào khác như 3,4,.. được không ạ? hay phải tuân theo một quy tắc nào ạ?

 

Cũng suy ra từ khai triển Maclaurin của $e^x$, hoặc bằng cách khác, 

$$ e^u\ge \frac{u^k}{k!}\, \forall u\ge 0.$$


Đời người là một hành trình...






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: giới hạn, dãy số

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh