Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $ab \neq 0$. Chứng minh: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}} - 3(\frac{a}{b} + \frac{b}

* - - - - 1 Bình chọn đại số 8 đề thi hsg

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
tcm

tcm

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 250 Bài viết

Bài 1: Tính $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} = $ ?

Bài 2: Tìm đa thức bậc ba $f(x)$ sao cho $f(x) - f(x - 1) = x^{2}$

Bài 3: Cho $ab \neq 0$. Chứng minh: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}} - 3(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + 4 \geqslant 0$.

 

Lưu ý: Các bài trên nằm trong đề thi khảo sát HSG toán 8 nên chỉ sử dụng kiến thức đại số THCS.


Laugh as long as we breathe, love as long as we live!


#2
tienduc

tienduc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 580 Bài viết

Bài 3: Cho $ab \neq 0$. Chứng minh: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}} - 3(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + 4 \geqslant 0$.

BĐT $\Leftrightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+2\geq 0\Leftrightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1)\geq 0 \Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a^2+b^2-ab)}{ab}\geq 0\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(a^2+b^2-ab)}{a^2b^2}\geq 0$

BĐT cuối đúng từ đó có $đpcm$


  • tcm yêu thích

#3
tcm

tcm

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 250 Bài viết

Anh xem luôn giúp e bài 2 đc ko ạ ^^


Laugh as long as we breathe, love as long as we live!


#4
bigway1906

bigway1906

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

Anh xem luôn giúp e bài 2 đc ko ạ ^^

đa thức bậc ba f(x) có dạng: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ suy ra: $f(x-1)=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d$

từ đây bạn thay vào rồi đồng nhất hệ số là được


  • tcm yêu thích

#5
tcm

tcm

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 250 Bài viết

đa thức bậc ba f(x) có dạng: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ suy ra: $f(x-1)=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d$

từ đây bạn thay vào rồi đồng nhất hệ số là được

 

Cụ thể hơn đi anh. Em thử thực hiện $f(x) - f(x-1) = x^{2}$ rồi nhưng rút gọn tới bước sau thì không biết làm như thế nào nữa:

$3ax^{2} - 3ax + a + 2bx - b + c = x^{2}$

Nếu đồng nhất hệ số thì nó ra: $a = \frac{1}{3}$, $b = \frac{1}{2}$ và $c = \frac{1}{6}$ thì thấy hơi "kỳ" !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcm: 15-04-2017 - 21:19

Laugh as long as we breathe, love as long as we live!


#6
bigway1906

bigway1906

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

Cụ thể hơn đi anh. Em thử thực hiện $f(x) - f(x-1) = x^{2}$ rồi nhưng rút gọn tới bước sau thì không biết làm như thế nào nữa:

$3ax^{2} - 3ax + a + 2bx - b + c = x^{2}$

Nếu đồng nhất hệ số thì nó ra: $a = \frac{1}{3}$, $b = \frac{1}{2}$ và $c = \frac{1}{6}$ thì thấy hơi "kỳ" !

a cũng ra thế, e thay vào đề bài mà thỏa mãn, thì là ok r


  • tcm yêu thích

#7
tcm

tcm

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 250 Bài viết

a cũng ra thế, e thay vào đề bài mà thỏa mãn, thì là ok r

 

Vậy $d$ đúng với mọi giá trị à anh?

Nếu là thế thì câu kết luận mình ghi như thế nào?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcm: 16-04-2017 - 11:25

Laugh as long as we breathe, love as long as we live!


#8
bigway1906

bigway1906

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

Vậy $d$ đúng với mọi giá trị à anh?
Nếu là thế thì câu kết luận mình ghi như thế nào?

Đúng r, với d là hằng số là được

#9
tcm

tcm

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 250 Bài viết

BĐT $\Leftrightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+2\geq 0\Leftrightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1)\geq 0 \Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a^2+b^2-ab)}{ab}\geq 0\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(a^2+b^2-ab)}{a^2b^2}\geq 0$

BĐT cuối đúng từ đó có $đpcm$

 

Cho e hỏi trong trường hợp này, bài chứng minh BĐT có được sử dụng BĐT Cauchy ko nhỉ?


Laugh as long as we breathe, love as long as we live!


#10
bigway1906

bigway1906

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết
K vì a/b chưa biết có dương hay không?
  • tcm yêu thích

#11
tcm

tcm

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 250 Bài viết

K vì a/b chưa biết có dương hay không?

 

Ừm, cho e hỏi là hướng phân tích của những bài này là như thế nào ạ?


Laugh as long as we breathe, love as long as we live!


#12
adteams

adteams

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

đa thức bậc ba f(x) có dạng: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ suy ra: $f(x-1)=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d$

từ đây bạn thay vào rồi đồng nhất hệ số là được

Tại sao lại là đa thức bậc 3 mà không phải bậc khác vậy ? :))


                                        [Dương Tuệ Linh ]

                                                [Linh]


#13
bigway1906

bigway1906

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

Tại sao lại là đa thức bậc 3 mà không phải bậc khác vậy ? :))

đề bài cho mà bạn?



#14
adteams

adteams

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

đề bài cho mà bạn?

Hì hì mik đọc thiếu :)) :)) :))


                                        [Dương Tuệ Linh ]

                                                [Linh]






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đại số 8, đề thi hsg

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh